Calcule o determinante das matrizes abaixo.
[cccc3 & -1 & 5 & 0 0 & 2 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 3 1 & 1 & 2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = 3 & -1 & 5 & 0 [6pt] 0 & 2 & 0 & 1 [6pt] 2 & 0 & -1 & 3 [6pt] 1 & 1 & 2 & 0
O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 4times4. Podemos usar a expansão de Laplace (cofatores) ou operações elementares. Aqui vamos usar a expansão ao longo da segunda linha, pois há dois zeros, o que simplifica bastante.]

Passo 2

Pela fórmula da expansão de Laplace ao longo da linha i=2:
det A ;=;sumj=1^4(-1)^2+j,a2j,det(A2j),
onde a2j é o elemento da linha 2 e A2j é a matriz que sobra ao eliminar linha 2 e coluna j. Como a21=0 e a23=0, restam apenas os termos j=2 e j=4.

Passo 3

Termo j=2: a22=2 e o sinal é (-1)^2+2=+1. A matriz menor A22 é obtida removendo linha 2 e coluna 2:
A22 = 3 & 5 & 0 [4pt] 2 & -1 & 3 [4pt] 1 & 2 & 0
Calculamos
det(A22) =3det!-1&32&0 -5det!2&31&0 +0cdotl(cdotsr)
Agora
det!-1&32&0 =-1cdot0 - 3cdot2 = -6, det!2&31&0 =2cdot0 - 3cdot1 = -3
Logo
det(A22) = 3cdot(-6) ;-; 5cdot(-3) = -18 + 15 = -3
E o termo contribui com
(+1),2,l(det A22r) = 2cdot(-3) = -6 ]

Passo 4

Termo j=4: a24=1 e o sinal é (-1)^2+4=+1. A matriz menor A24 (removendo linha 2 e coluna 4) é
A24 = 3 & -1 & 5 [4pt] 2 & 0 & -1 [4pt] 1 & 1 & 2
Calculamos
det(A24) =3det!0&-11&2 -(-1)det!2&-11&2 +5det!2&01&1
Em cada menor:
det!0&-11&2 =0cdot2 -(-1)cdot1 = 1,
det!2&-11&2 =2cdot2 -(-1)cdot1 = 5,
det!2&01&1 =2cdot1 - 0cdot1 = 2
Portanto
det(A24) =3cdot1 -(-1)cdot5 +5cdot2 =3 +5 +10 = 18
E o termo contribui com
(+1),1,l(det A24r) = 1cdot18 = 18 ]

Passo 5

Somando os dois termos não nulos:
det A = (-6) + (18) = 12

Resposta

12

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