Nas partes a-c , determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se A for uma matriz 3 times 3 e B a matriz que resulta se somarmos 5 vezes a primeira linha à segunda e à terceira linhas de A, então det(B)=25 det(A).

Passo 1

O enunciado fala de uma matriz A de ordem 3 e de uma matriz B obtida a partir de A somando-se 5 vezes a linha 1 a cada uma das linhas 2 e 3. O conteúdo aqui é determinante de matriz e o efeito das operações elementares de linha sobre o determinante.

Passo 2

Recordando a teoria: a operação elementar “somar a uma linha qualquer um múltiplo de outra linha” (chamada operação de tipo III) não altera o valor do determinante. Em símbolos, se A' é obtida de A somando-se k vezes a linha i à linha j, então
det(A') = det(A)

Passo 3

No nosso caso fazemos duas vezes essa operação:
  1. somamos 5 vezes a linha 1 à linha 2, obtendo uma matriz intermediária A1 com det(A1)=det(A);
  2. somamos 5 vezes a linha 1 à linha 3 de A1, obtendo B com det(B)=det(A1).
Como cada operação tipo III não muda o determinante, concluímos
det(B)=det(A1)=det(A)

Passo 4

A afirmação dada diz que det(B)=25,det(A), mas na verdade det(B)=det(A). Logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

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