Mostre que o conjunto (2,3),(5,0) é uma base para V^2.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto (2,3),(5,0)subset V^2 e pede para mostrarmos que ele é uma base de V^2. Lembrando que um conjunto B é base de um espaço vetorial V se, e somente se, B é linearmente independente e gera V. Como dim(V^2)=2 e nosso conjunto tem dois vetores, basta provar que esses vetores são linearmente independentes (o que já garante que geram V^2).

Passo 2

Para testar a independência linear, consideramos a combinação
a,(2,3) ;+; b,(5,0) ;=;(0,0),
e mostramos que isso implica a=0 e b=0. Escrevendo por componentes, obtemos o sistema
2a + 5b = 0, 3a + 0b = 0

Passo 3

Da segunda equação tiramos
3a = 0 Longrightarrow a = 0
Substituindo a=0 na primeira equação vem
2cdot 0 + 5b = 0 Longrightarrow b = 0
Logo a única solução é a=b=0, o que prova que (2,3) e (5,0) são linearmente independentes.

Passo 4

Ter dois vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 2 implica que eles formam um conjunto gerador de V^2. Em particular, para qualquer (x,y)inV^2 basta resolver
2a + 5b = x, 3a = y,
que sempre admite solução única. Portanto, (2,3),(5,0) é base de V^2.

Resposta

O conjunto (2,3),(5,0) é uma base de V^2.

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