O enunciado nos dá o conjunto e pede para mostrarmos que ele é uma base de . Lembrando que um conjunto é base de um espaço vetorial se, e somente se, é linearmente independente e gera . Como e nosso conjunto tem dois vetores, basta provar que esses vetores são linearmente independentes (o que já garante que geram ).
Passo 2
Para testar a independência linear, consideramos a combinação
e mostramos que isso implica e . Escrevendo por componentes, obtemos o sistema
Passo 3
Da segunda equação tiramos
3a = 0 Longrightarrow a = 0
Substituindo a=0 na primeira equação vem
2cdot 0 + 5b = 0 Longrightarrow b = 0
Logo a única solução é a=b=0, o que prova que (2,3) e (5,0) são linearmente independentes.
Passo 4
Ter dois vetores linearmente independentes em um espaço de dimensão 2 implica que eles formam um conjunto gerador de V^2. Em particular, para qualquer (x,y)inV^2 basta resolver
2a + 5b = x, 3a = y,
que sempre admite solução única. Portanto, (2,3),(5,0) é base de V^2.