Considere as bases B(1,2,-1),(0,1,2),(2,0,1) e A=(1,1,1),(-1,0,2),(0,1,2). Determine:
A matriz MA B e MB A.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
B=,b1=(1,2,-1),;b2=(0,1,2),;b3=(2,0,1) e
A=,a1=(1,1,1),;a2=(-1,0,2),;a3=(0,1,2).
Queremos as matrizes de mudança de coordenadas
MAB tal que [v]A=MAB,[v]B e
MBA tal que [v]B=MBA,[v]A.
Para isso, vamos expressar os vetores de B em coordenadas na base A e vice-versa.

Passo 2

Expressão de
Do sistema
segue , . Logo

Passo 3

Analogamente para
Assim a matriz de mudança (B\to A] é

Passo 4

Para MBA podemos inverter MAB ou expressar cada ai em coordenadas de B. Fazendo isso, obtém-se
[a1]B=311511411, [a2]B=-5111011-311, [a3]B=010
Logo
MBA=l[,[a1]B;|;[a2]B;|;[a3]Br] = 311 & -511 & 0[6pt] 511 & 1011 & 1[6pt] 411 & -311 & 0 ]

Resposta

MAB= -3 & 0 & 5 -4 & 0 & 3 5 & 1 & -5 ,
\quad
MBA= 311 & -511 & 0[4pt] 511 & 1011 & 1[4pt] 411 & -311 & 0 ]

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