Os planos pi1: y+z=0 e pi2: 4 x+y-z+3=0 se interceptam na reta r dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta r ?
c) r: X=(0,1,-1)+lambda(4,1,-1) para lambda in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois planos no espaço tridimensional:
  • Plano pi1: y + z = 0
  • Plano pi2: 4x + y - z + 3 = 0
A questão pede para encontrar a equação da reta r onde esses dois planos se interceptam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente como encontrar a interseção de dois planos, que resulta em uma reta. Precisaremos resolver um sistema de equações para encontrar essa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos é uma reta que está contida em ambos os planos. Para encontrar essa reta, precisamos determinar um ponto que pertence a ambos os planos e um vetor diretor dessa reta.
Vamos montar o sistema de equações com as equações dos planos:
y + z = 0 (1) 4x + y - z + 3 = 0 (2)

Passo 3

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x, y e z que satisfazem ambas as equações. Podemos usar o método de substituição.
Da equação (1), podemos expressar y em termos de z:
y = -z (3)

Passo 4

Agora, substituímos a equação (3) na equação (2):
4x + (-z) - z + 3 = 0 4x - 2z + 3 = 0
Vamos isolar x:
4x = 2z - 3 x = 2z - 34 (4)

Passo 5

Agora, podemos parametrizar a reta. Vamos escolher um parâmetro, como lambda, e expressar z em termos desse parâmetro:
z = lambda
Substituindo z = lambda na equação (3):
y = -lambda
E na equação (4):
x = 2lambda - 34

Passo 6

Vamos escrever a reta r de forma vetorial, usando um ponto e um vetor diretor.
Escolhemos lambda = 0 para encontrar um ponto específico na reta:
z = 0 y = 0 x = -34
Então, um ponto na reta é ( -34, 0, 0 ).
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de lambda nas expressões de x, y e z:
( 24, -1, 1 ) = ( 12, -1, 1 )

Passo 7

Portanto, a equação paramétrica da reta r é:
r: x = -34 + 12lambda y = -lambda z = lambda
Ou, em forma vetorial:
r = ( -34, 0, 0 ) + lambda ( 12, -1, 1 ), lambda in R

Resposta

A equação da reta r é:
r: X = (0,,1,,-1) + lambda,(4,,1,,-1) para lambda in R

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