Os planos e se interceptam na reta dada. Qual das alternativas representa uma equação da reta ?
c) para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois planos no espaço tridimensional:
Plano
Plano
A questão pede para encontrar a equação da reta onde esses dois planos se interceptam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente como encontrar a interseção de dois planos, que resulta em uma reta. Precisaremos resolver um sistema de equações para encontrar essa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos é uma reta que está contida em ambos os planos. Para encontrar essa reta, precisamos determinar um ponto que pertence a ambos os planos e um vetor diretor dessa reta.
Vamos montar o sistema de equações com as equações dos planos:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações. Podemos usar o método de substituição.
Da equação (1), podemos expressar em termos de :
Passo 4
Agora, substituímos a equação (3) na equação (2):
Vamos isolar :
Passo 5
Agora, podemos parametrizar a reta. Vamos escolher um parâmetro, como , e expressar em termos desse parâmetro:
Substituindo na equação (3):
E na equação (4):
Passo 6
Vamos escrever a reta de forma vetorial, usando um ponto e um vetor diretor.
Escolhemos para encontrar um ponto específico na reta:
Então, um ponto na reta é .
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de nas expressões de , e :
Passo 7
Portanto, a equação paramétrica da reta é:
Ou, em forma vetorial:
r = ( -34, 0, 0 ) + lambda ( 12, -1, 1 ), lambda in R
Resposta
A equação da reta r é:
r: X = (0,,1,,-1) + lambda,(4,,1,,-1) para lambda in R