Considere a reta
r: x-17=2-y2=2 z+10
O plano que é ortogonal a r e passa pelo ponto A=(9,1,2) é:
a) pi: 7 x-2 y+z2=62

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma reta definida por e pede para encontrar o plano que é ortogonal a essa reta e que passa pelo ponto . Vamos precisar entender sobre vetores diretores de retas e como usar isso para encontrar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta . A equação da reta está na forma . Geralmente, a forma paramétrica da reta é , onde é o vetor diretor.
No nosso caso, comparando com a forma padrão:
  • Para : sugere que .
  • Para : pode ser reescrito como , então .
  • Para : pode ser reescrito como , então .
Portanto, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, sabemos que o plano que estamos procurando é ortogonal à reta nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0 , o que significa que o vetor diretor 7 (x - 9) - 2 (y - 1) - 12 (z - 2) = 0 da reta será o vetor normal 7x - 63 - 2y + 2 - 12z + 1 = 0 do plano.
A equação geral do plano pode ser escrita como:
7x - 2y - 12z - 60 = 0
onde 14x - 4y - z - 120 = 0 é um ponto no plano, que neste caso é 14x - 4y - z = 120 , e é o vetor normal.
Substituindo os valores:
Vamos expandir e simplificar:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
Podemos deixar a equação na forma padrão:

Resposta

A equação do plano é .

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