Calcule o determinante das matrizes abaixo utilizando o Teorema de Laplace.
D=[cccc0 & -2 & 0 & 0 1 & 2 & 3 & 0 -1 & 2 & 0 & -1 3 & 0 & 4 & 1].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(D) para a matriz
D = 0 & -2 & 0 & 0 [6pt] 1 & 2 & 3 & 0 [6pt] -1 & 2 & 0 & -1 [6pt] 3 & 0 & 4 & 1
O conteúdo é o Teorema de Laplace (expansão por cofatores):
det(D) ;=; sumj=1^4 (-1)^1+j,d1j,detl(M1jr),
once M1j é o menor obtido eliminando a linha 1 e a coluna j.]

Passo 2

Observamos que na primeira linha só o elemento d12 = -2 é não-nulo. Logo,
det(D) = (-1)^1+2,d12,detl(M1,2r) = (-1)^3cdot(-2),detl(M1,2r) = 2,detl(M1,2r)

Passo 3

O menor M1,2 é a matriz 3times3 obtida excluindo linha 1 e coluna 2 de D:
M1,2 = 1 & 3 & 0 [4pt] -1 & 0 & -1 [4pt] 3 & 4 & 1
Agora calculamos det(M1,2) por regra de Sarrus ou Laplace:
det(M1,2) = 1cdotdet!0 & -1 [3pt]4 & 1 -3cdotdet!-1 & -1 [3pt]3 & 1 +0cdotl(cdotsr)
Calculando cada cofator:
det!0 & -1 [3pt]4 & 1 = 0cdot1 - (-1)cdot4 = 4,
det!-1 & -1 [3pt]3 & 1 = (-1)cdot1 - (-1)cdot3 = -1 + 3 = 2
Logo,
det(M1,2) = 1cdot4 - 3cdot2 = 4 - 6 = -2 ]

Passo 4

Substituindo em det(D)=2,det(M1,2), temos
det(D) = 2 times (-2) = -4

Resposta

-4

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