Calcule o determinante das matrizes abaixo utilizando o Teorema de Laplace.
C=[cccc-1 & 2 & 3 & -4 4 & 2 & 0 & 0 -1 & 2 & -3 & 0 2 & 5 & 3 & 1].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(C) onde
C = -1 & 2 & 3 & -4 4 & 2 & 0 & 0 -1 & 2 & -3 & 0 2 & 5 & 3 & 1
Usaremos o Teorema de Laplace (expansão por cofatores), que diz que podemos expandir o determinante ao longo de qualquer linha ou coluna. Para aproveitar os zeros, vamos expandir ao longo da segunda linha.

Passo 2

Ao expandir pela segunda linha temos
det(C) = sumj=1^4 (-1)^2+j,c2j,det(M2j)
onde c2j é o elemento da segunda linha e M2j é o menor correspondente. Como c23=0 e c24=0, sobram apenas j=1 e j=2:
det(C) = (-1)^2+1,4,det(M21) +(-1)^2+2,2,det(M22) = -4,det(M21) ;+;2,det(M22)

Passo 3

Removendo a 2ª linha e 1ª coluna, o menor M21 é
M21 = 2 & 3 & -4 2 & -3 & 0 5 & 3 & 1
Para calcular det(M21) usamos expansão na primeira linha:
det(M21) = 2det-3 & 0 3 & 1 -3det2 & 0 5 & 1 +(-4)det2 & -3 5 & 3
Calculando cada determinante 2times2:
det-3 & 0 3 & 1=-3,
det2 & 0 5 & 1=2,
det2 & -3 5 & 3=21.
Logo,
det(M21) =2cdot(-3)-3cdot2+(-4)cdot21 =-6-6-84 =-96

Passo 4

Removendo a 2ª linha e 2ª coluna, o menor M22 é
M22 = -1 & 3 & -4 -1 & -3 & 0 2 & 3 & 1
Expandindo na primeira linha:
det(M22) = -1det-3 & 0 3 & 1 -3det-1 & 0 2 & 1 +(-4)det-1 & -3 2 & 3
Cada determinante 2times2 vale:
det-3 & 0 3 & 1=-3,
det-1 & 0 2 & 1=-1,
det-1 & -3 2 & 3=3.
Assim,
det(M22) =(-1)cdot(-3);-;3cdot(-1);+;(-4)cdot3 =3+3-12 =-6

Passo 5

Substituindo os menores na expressão de det(C):
det(C) = -4cdot(-96)+2cdot(-6) =384-12 =372

Resposta

det(C)=372

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