Sabendo-se que o autovetor
está associado ao autovalor
autovetor
está associado ao autovetor -1 . Qual a imagem de
pela Transformação
?
23. Quais das seguintes assertivas não está correta sobre uma Transformação Linear.
a) Se
é um operador Linear e
é base de
então
é base.
b)
então
é sobrejetiva
c)
então
é injetiva.
d) Se
então
é sobrejetiva
e) Se
é bijetiva então
23. Quais das seguintes assertivas não está correta sobre uma Transformação Linear.
a) Se
b)
c)
d) Se
e) Se
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
em que sabemos que
-
é autovetor de com autovalor , -
é autovetor de com autovalor .
Precisamos:
- Calcular
. - Identificar quais assertivas dentre (a)–(e) não são corretas sobre transformações lineares.
Passo 2
Pela definição de autovetor, se
é autovetor de
com autovalor
, então
Como
tem
, tem-se
Passo 3
Para classificar as assertivas, relembramos:
-
. -
. -
é injetiva se, e somente se, . -
é sobrejetiva se . - No caso de espaço vetorial de dimensão finita, vale a fórmula
.
Passo 4
Analisamos cada item:
(a) “Se é operador linear e
é base de
então
é base.”
Isto só vale quando é bijetiva. Em geral, se
não for invertível,
pode falhar em gerar todo
ou ser linearmente dependente.
Logo (a) é falsa.
(a) “Se
Isto só vale quando
Logo (a) é falsa.
(b) “Se
então
é sobrejetiva.”
Ter implica que
, logo não atinge toda a dimensão de
. Em geral, não é sobrejetiva.
Portanto (b) é falsa.
Ter
Portanto (b) é falsa.
(c) “Se
então
é injetiva.”
Isto é a definição de injetividade. Logo (c) é verdadeira.
Isto é a definição de injetividade. Logo (c) é verdadeira.
(d) “Se
então
é sobrejetiva.”
Se o posto atinge a dimensão de , a imagem coincide com
. Logo (d) é verdadeira.
Se o posto atinge a dimensão de
(e) “Se
é bijetiva então
.”
Bijetividade implica injetividade, portanto kernel trivial. Logo (e) é verdadeira.
Bijetividade implica injetividade, portanto kernel trivial. Logo (e) é verdadeira.
Resposta
-
. - As assertivas incorretas são (a) e (b).