Sabendo-se que o autovetor (1,2) está associado ao autovalor 2 e circ autovetor (-3,1) está associado ao autovetor -1 . Qual a imagem de (1,2) pela Transformação T ?
(4,-2)
23. Quais das seguintes assertivas não está correta sobre uma Transformação Linear.
a) Se T é um operador Linear e A é base de V então T(A) é base.
b) Se Ker(T) neq 0 então T é sobrejetiva
c) Se Ker(T)=0 então T é injetiva.
d) Se dim(Im(T))=dimW então T é sobrejetiva
e) Se T é bijetiva então Ker(T)=0

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear Tcolon Vto V em que sabemos que
  • (1,2) é autovetor de T com autovalor lambda=2,
  • (-3,1) é autovetor de T com autovalor lambda=-1.
    Precisamos:
  1. Calcular T(1,2).
  2. Identificar quais assertivas dentre (a)–(e) não são corretas sobre transformações lineares.

Passo 2

Pela definição de autovetor, se v é autovetor de T com autovalor lambda, então
T(v) = lambda,v
Como (1,2) tem lambda=2, tem-se
T(1,2) = 2,(1,2) = (2,4)

Passo 3

Para classificar as assertivas, relembramos:
  • ker(T)=vin Vmid T(v)=0.
  • im(T)=T(v)mid vin V.
  • T é injetiva se, e somente se, ker(T)=0.
  • T é sobrejetiva se im(T)=W.
  • No caso de espaço vetorial de dimensão finita, vale a fórmula dim V = dimker(T)+dimim(T).

Passo 4

Analisamos cada item:
(a) “Se T é operador linear e A é base de V então T(A) é base.”
Isto só vale quando T é bijetiva. Em geral, se T não for invertível, T(A) pode falhar em gerar todo V ou ser linearmente dependente.
Logo (a) é falsa.
(b) “Se ker(T)neq 0 então T é sobrejetiva.”
Ter ker(T)neq0 implica que dimim(T)<dim V, logo não atinge toda a dimensão de W. Em geral, não é sobrejetiva.
Portanto (b) é falsa.
(c) “Se ker(T)=0 então T é injetiva.”
Isto é a definição de injetividade. Logo (c) é verdadeira.
(d) “Se dim(im(T))=dim W então T é sobrejetiva.”
Se o posto atinge a dimensão de W, a imagem coincide com W. Logo (d) é verdadeira.
(e) “Se T é bijetiva então ker(T)=0.”
Bijetividade implica injetividade, portanto kernel trivial. Logo (e) é verdadeira.

Resposta

  1. T(1,2)=(2,4).
  2. As assertivas incorretas são (a) e (b).

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