Calcule o determinante das matrizes 3 times 3 abaixo:
A=(ccc 1 & 3 & 1 4 & 2 & 3 2 & 4 & -2 ), B=(ccc 1 & 2 & -2 6 & 1 & 3 4 & -3 & 7 ), C=(ccc 2 & 0 & 3 -1 & 3 & 2 0 & 5 & 2 )
Verifique quais das matrizes acima são invertíveis e, nesse caso, calcule sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de três matrizes 3times3 e, em seguida, verificar quais são invertíveis e, para essas, encontrar a inversa. O conteúdo necessário envolve (1) calcular det de uma matriz 3times3 usando regra de Sarrus ou desenvolvimento por cofactores e (2) obter a inversa através da matriz adjunta (transposta da matriz de cofactores) dividida pelo determinante.

Passo 2

Calcular det(A) por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!2&34&-2 -3cdotdet!4&32&-2 +1cdotdet!4&22&4
Agora cada 2times2:
det2&34&-2=2cdot(-2)-3cdot4=-4-12=-16,
det4&32&-2=4cdot(-2)-3cdot2=-8-6=-14,
det4&22&4=4cdot4-2cdot2=16-4=12.
Logo
det(A)=1cdot(-16)-3cdot(-14)+1cdot12=-16+42+12=38

Passo 3

Calcular det(B) por desenvolvimento na primeira linha:
det(B) =1cdotdet!1&3-3&7 -2cdotdet!6&34&7 -2cdotdet!6&14&-3
Os 2times2 são
det1&3-3&7=1cdot7-3cdot(-3)=7+9=16,
det6&34&7=6cdot7-3cdot4=42-12=30,
det6&14&-3=6cdot(-3)-1cdot4=-18-4=-22.
Logo
det(B)=1cdot16-2cdot30-2cdot(-22)=16-60+44=0

Passo 4

Calcular det(C) por desenvolvimento na primeira linha:
det(C) =2cdotdet!3&25&2 -0cdot(cdots) +3cdotdet!-1&30&5
Os 2times2 são
det3&25&2=3cdot2-2cdot5=6-10=-4,
det-1&30&5=-1cdot5-3cdot0=-5.
Logo
det(C)=2cdot(-4)+3cdot(-5)=-8-15=-23

Passo 5

Como det(A)=38neq0, A é invertível.
Como det(B)=0, B é singular (não invertível).
Como det(C)=-23neq0, C é invertível.

Passo 6

Para A^-1 montamos a matriz de cofactores, transpus e dividimos por 38. O resultado é
A^-1 =138 -16 & 10 & 7 14 & -4 & 1 12 & 2 & -10

Passo 7

Para C^-1 procedemos igual, obtendo
C^-1 =1-23 -4 & 15 & -9 2 & 4 & -7 -5 & -10 & 6 ;=; 123 4 & -15 & 9 -2 & -4 & 7 5 & 10 & -6

Resposta

det(A)=38, invertível com
A^-1 =138 -16 & 10 & 7 14 & -4 & 1 12 & 2 & -10
det(B)=0, não invertível.
det(C)=-23, invertível com
C^-1 =123 4 & -15 & 9 -2 & -4 & 7 5 & 10 & -6

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