Mostre que os vetores v1, v2 e v3 são LI e escreva o vetor w=(2,1,0) como combinação linear desses vetores, onde:
v1=(1,1,1), v2=(1,1,-1) e v3=(1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que vec v1,vec v2,vec v3 são linearmente independentes em R^3 e, em seguida, escrever vec w=(2,1,0) como combinação linear desses vetores. Vamos usar a definição de independência linear (só a combinação trivial gera o vetor zero) e resolver sistemas lineares para encontrar coeficientes.

Passo 2

Para provar independência, consideramos a combinação
alpha,vec v1+beta,vec v2+gamma,vec v3=vec 0
Como vec v1=(1,1,1), vec v2=(1,1,-1) e vec v3=(1,-1,1), isso gera o sistema
alpha + beta + gamma = 0, alpha + beta - gamma = 0, alpha - beta + gamma = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira menos a segunda equação vem
2gamma = 0 Rightarrow gamma = 0
Substituindo em alpha - beta + gamma = 0 obtemos alpha = beta. Então, em alpha + beta + gamma = 0 surge
2alpha = 0 Rightarrow alpha = 0, beta = 0
Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Para expressar
Da primeira menos a segunda equação vem
Somando a primeira com a segunda temos
e de e , achamos

Resposta

vec w = tfrac12,vec v1 + 1,vec v2 + tfrac12,vec v3

Exercícios relacionados