Mostre que os vetores v1, v2 e v3 são LI e escreva o vetor w=(2,1,0) como combinação linear desses vetores, onde:
v1=(1,1,0), v2=(0,1,1) e v3=(1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro mostrar que os vetores
vec v1=(1,1,0), vec v2=(0,1,1) e vec v3=(1,0,1) são linearmente independentes (LI); em seguida, escrever vec w=(2,1,0) como combinação linear desses vetores.
Conteúdo: independência linear e combinação linear em R^3. Vamos usar a definição de LI (soma linear nula só com coeficientes triviais) e depois resolver um sistema para achar a combinação de vec w.

Passo 2

Para verificar independência, consideramos a equação
alpha,vec v1 + beta,vec v2 + gamma,vec v3 = vec0
isto é,
alpha(1,1,0) + beta(0,1,1) + gamma(1,0,1) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
alpha + 0beta + gamma = 0, alpha + beta + 0gamma = 0, 0alpha + beta + gamma = 0
Resolvendo: da primeira gamma=-alpha; da segunda beta=-alpha; inserindo na terceira -alpha+(-alpha)=0 -2alpha=0, então alpha=0. Logo beta=gamma=0. Só existe a solução trivial, logo vec v1,vec v2,vec v3 é LI.

Passo 3

Agora queremos (2,1,0)=a,vec v1+b,vec v2+c,vec v3. Escrevendo coordenadas:
a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(2,1,0),
o que dá o sistema
a + 0b + c = 2, a + b + 0c = 1, 0a + b + c = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema:
  1. Da primeira equação c = 2 - a.
  2. Da segunda b = 1 - a.
  3. Substituindo em b+c=0 fica (1-a)+(2-a)=0Rightarrow 3-2a=0Rightarrow a=tfrac32.
    Então b=1-tfrac32=-tfrac12 e c=2-tfrac32=tfrac12.

Resposta

Os vetores vec v1,vec v2,vec v3 são linearmente independentes e
vec w=(2,1,0)=tfrac32,vec v1 ;-;tfrac12,vec v2;+;tfrac12,vec v3

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