Mostre que:
(d) \vec{u}=-\vec{u} \Leftrightarrow \vec{u}=\overrightarrow{0}

Passo 1

Resumo do que queremos mostrar: para um vetor \vec{u} em qualquer espaço vetorial, provar que
\vec{u} = -\vec{u} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{u} = \overrightarrow{0}.
Conteúdo usado: definição de vetor nulo \overrightarrow{0}, definição de inverso aditivo -\vec{u} e a propriedade de cancelamento em espaços vetoriais.

Passo 2

Provar “ \vec{u} = \overrightarrow{0} implica \vec{u} = -\vec{u}”.
Se \vec{u} = \overrightarrow{0}, então, pela unicidade do inverso aditivo, o inverso de (\overrightarrow{0}$ é ele próprio, pois
\overrightarrow{0} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}.
Logo -\vec{u} = -\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}. Portanto
\vec{u} = \overrightarrow{0} = -\vec{u}.)

Passo 3

Provar “ \vec{u} = -\vec{u} implica \vec{u} = \overrightarrow{0}”.
Partindo de \vec{u} = -\vec{u}, some \vec{u} em ambos os lados:
\vec{u} + \vec{u} = \vec{u} + \bigl(-\vec{u}\bigr).
O lado direito é
\vec{u} + \bigl(-\vec{u}\bigr) = \overrightarrow{0},
pela definição de inverso aditivo. Logo
\vec{u} + \vec{u} = \overrightarrow{0}.
Por outro lado, sempre vale \vec{u} + \overrightarrow{0} = \vec{u}. Assim
\vec{u} + \vec{u} = \vec{u} + \overrightarrow{0}.
Pelo axioma de cancelamento (se a + c = b + c então a=b), podemos “cancelar” \vec{u} em ambos os lados e obter \vec{u} = \overrightarrow{0}.

Resposta

Fica então provado que
\vec{u} = -\vec{u} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{u} = \overrightarrow{0}.

Exercícios relacionados