Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 0\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 4 \\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
  • A matriz E é uma matriz 3\times3 com entradas E_{11}=1, E_{12}=0, E_{13}=3, E_{21}=0, E_{22}=1, E_{23}=4, E_{31}=2, E_{32}=1, E_{33}=0.
  • O que se pede: encontrar \det(E).]

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar uma regra simples e muito útil para matrizes 3\times3: a regra de Sarrus. Mas primeiro uma lembrança rápida do caso 2\times2, que é a base.
  • Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Isso é fácil de memorizar e será usado ao calcular menores 2\times2 mais adiante.]

Passo 3

Regra de Sarrus para 3\times3: seja
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}.
Escreve-se as duas primeiras colunas novamente à direita e soma-se o produto das três diagonais descendentes e subtrai-se o produto das três diagonais ascendentes. Em fórmula:
\det(A)=\bigl(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\bigr)-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Essa fórmula é prática para 3\times3 e evita muitos cálculos repetidos.]

Passo 4

Aplicando Sarrus à matriz E. Identificando os a_{ij} com as entradas de E:
a_{11}=1,\; a_{12}=0,\; a_{13}=3,\; a_{21}=0,\; a_{22}=1,\; a_{23}=4,\; a_{31}=2,\; a_{32}=1,\; a_{33}=0.
Calculemos primeiro os três produtos da soma (diagonais descendentes):
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 1\cdot 0=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=0\cdot 4\cdot 2=0,
a_{13}a_{21}a_{32}=3\cdot 0\cdot 1=0.
Somando essas três parcelas obtemos
\text{soma positiva}=0+0+0=0.

Passo 5

Agora os três produtos da subtração (diagonais ascendentes):
a_{13}a_{22}a_{31}=3\cdot 1\cdot 2=6,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 4\cdot 1=4,
a_{12}a_{21}a_{33}=0\cdot 0\cdot 0=0.
Somando essas parcelas:
\text{soma negativa}=6+4+0=10.
Pelo Sarrus,
\det(E)=\text{soma positiva}-\text{soma negativa}=0-10=-10.

Passo 6

Verificação alternativa (expansão por cofactores na primeira linha) — só para conferir e também para te ensinar outra técnica que sempre funciona:
A expansão pela primeira linha dá
\det(E)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é o menor 2\times2 obtido eliminando linha 1 e coluna j.
  • Para j=1: M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, então \det(M_{11})=1\cdot 0-4\cdot 1= -4. O cofactor é C_{11}=(-1)^{2}(-4)=-4. Contribuição: a_{11}C_{11}=1\cdot(-4)=-4.
  • Para j=2: a_{12}=0 então a contribuição é zero (não precisamos calcular M_{12}).
  • Para j=3: M_{13}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}, então \det(M_{13})=0\cdot 1-1\cdot 2=-2. O cofactor é C_{13}=(-1)^{4}(-2)=-2. Contribuição: a_{13}C_{13}=3\cdot(-2)=-6.
    Somando as contribuições: -4+0-6=-10, que confere com o resultado anterior.]

Passo 7

Interpretação rápida: \det(E)=-10. O sinal negativo indica que a transformação linear representada por E inverte a orientação do espaço; o valor absoluto |\det(E)|=10 é a razão do volume (paralelepípedo) entre a imagem e a pré-imagem de um volume unitário. Mas para a prova o importante é saber calcular corretamente: -10.

Resposta

-10

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