A matriz E é uma matriz 3\times3 com entradas E_{11}=1, E_{12}=0, E_{13}=3, E_{21}=0, E_{22}=1, E_{23}=4, E_{31}=2, E_{32}=1, E_{33}=0.
O que se pede: encontrar \det(E).]
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar uma regra simples e muito útil para matrizes 3\times3: a regra de Sarrus. Mas primeiro uma lembrança rápida do caso 2\times2, que é a base.
Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Isso é fácil de memorizar e será usado ao calcular menores 2\times2 mais adiante.]
Escreve-se as duas primeiras colunas novamente à direita e soma-se o produto das três diagonais descendentes e subtrai-se o produto das três diagonais ascendentes. Em fórmula:
Verificação alternativa (expansão por cofactores na primeira linha) — só para conferir e também para te ensinar outra técnica que sempre funciona:
A expansão pela primeira linha dá
\det(E)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}\det(M_{1j}) e M_{1j} é o menor 2\times2 obtido eliminando linha 1 e coluna j.
Para j=1: M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, então \det(M_{11})=1\cdot 0-4\cdot 1= -4. O cofactor é C_{11}=(-1)^{2}(-4)=-4. Contribuição: a_{11}C_{11}=1\cdot(-4)=-4.
Para j=2: a_{12}=0 então a contribuição é zero (não precisamos calcular M_{12}).
Para j=3: M_{13}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}, então \det(M_{13})=0\cdot 1-1\cdot 2=-2. O cofactor é C_{13}=(-1)^{4}(-2)=-2. Contribuição: a_{13}C_{13}=3\cdot(-2)=-6.
Somando as contribuições: -4+0-6=-10, que confere com o resultado anterior.]
Passo 7
Interpretação rápida: \det(E)=-10. O sinal negativo indica que a transformação linear representada por E inverte a orientação do espaço; o valor absoluto |\det(E)|=10 é a razão do volume (paralelepípedo) entre a imagem e a pré-imagem de um volume unitário. Mas para a prova o importante é saber calcular corretamente: -10.