Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 4 & 5 & 5\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 4 & 5 & 5 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos: os elementos de A são os números escritos na matriz acima (cada entrada já está disponível e não falta nada). O objetivo é encontrar \det(A).]

Passo 2

Vou explicar uma forma simples e direta de calcular o determinante de uma matriz 3\times3: a regra de Sarrus. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz que
\det(M)=a e i + b f g + c d h - \big(c e g + a f h + b d i\big).
O que isso significa em palavras: multiplica-se os produtos dos três elementos das três diagonais que “descem para a direita” (essas somam) e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais que “descem para a esquerda”. É um método rápido e confiável para 3\times3.
Aqui cada letra representa um elemento da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b é o da primeira linha e segunda coluna, e assim por diante.]

Passo 3

Primeiro identifique os elementos da nossa matriz A conforme a notação acima:
a=1,\quad b=2,\quad c=3,
d=2,\quad e=1,\quad f=-1,
g=4,\quad h=5,\quad i=5.
Agora aplico a fórmula de Sarrus. Calculo os produtos das diagonais que somam:
a e i = 1\cdot 1\cdot 5 = 5,
b f g = 2\cdot(-1)\cdot 4 = -8,
c d h = 3\cdot 2\cdot 5 = 30.
Somando esses três resultados:
\text{soma\_positiva}=5 + (-8) + 30 = 27.
Agora os produtos das diagonais que subtraem:
c e g = 3\cdot 1\cdot 4 = 12,
a f h = 1\cdot(-1)\cdot 5 = -5,
b d i = 2\cdot 2\cdot 5 = 20.
Somando esses três:
\text{soma\_negativa}=12 + (-5) + 20 = 27.
Por fim a regra de Sarrus dá
\det(A)=\text{soma\_positiva}-\text{soma\_negativa}=27-27=0.

Passo 4

Interpretação e verificação didática: um determinante nulo ( \det(A)=0\)) significa que as linhas (ou colunas) da matriz são linearmente dependentes e, portanto, \(A\) não é invertível. Para tornar isso concreto, é possível encontrar coeficientes que relacionem as linhas. Denotando as linhas por \[r_1=(1,2,3),\qquad r_2=(2,1,-1),\qquad r_3=(4,5,5),
podemos procurar \alpha,\beta tais que \alpha r_1+\beta r_2=r_3. Das componentes obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 4,\\[4pt] 2\alpha + \beta = 5,\\[4pt] 3\alpha - \beta = 5. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações: multiplicando a primeira por 2\] e subtraindo a segunda, vem \(3\beta=3\Rightarrow \beta=1. Então \alpha=4-2\beta=2. A terceira equação confirma isso: 3\cdot2-1=5. Logo
r_3 = 2\,r_1 + 1\,r_2,
o que mostra a dependência linear e explica por que \det(A)=0.]

Passo 5

Dicas rápidas para prova: para 3\times3 use Sarrus porque é rápido; se a matriz for maior, use operações elementares para triangularizar ou expansão por cofatores; sempre verifique se há relação linear entre linhas/colunas — isso pode revelar determinante zero sem cálculos pesados.

Resposta

\det(A)=0

Exercícios relacionados