Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 4 \\\\ 6 & 3 & 5 \\\\ 2 & -1 & 6\end{array}\right],

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz \boldsymbol{J}. A matriz e os seus elementos são:
\boldsymbol{J}=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 4\\[4pt] 6 & 3 & 5\\[4pt] 2 & -1 & 6 \end{pmatrix}.
Vou calcular \det(\boldsymbol{J}). Aqui estão os elementos identificados para facilitar a notação: \,a_{11}=3, \,a_{12}=-1, \,a_{13}=4, \,a_{21}=6, \,a_{22}=3, \,a_{23}=5, \,a_{31}=2, \,a_{32}=-1, \,a_{33}=6.]

Passo 2

Método escolhido: regra de Sarrus (porque é rápido e direto para matrizes 3\times3). Vou explicar a regra de Sarrus de forma prática:
A regra de Sarrus diz que, para uma matriz 3\times3 com entradas a_{ij},
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \big( a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33} \big).
Comentários didáticos rápidos sobre a fórmula:
  • Os três primeiros termos (com sinal +) correspondem aos produtos das “diagonais descendentes” (da esquerda superior para a direita inferior, incluindo ciclos).
  • Os três últimos termos (com sinal -) correspondem aos produtos das “diagonais ascendentes” (da direita superior para a esquerda inferior, incluindo ciclos).
  • Essa regra é uma forma compacta de aplicar o desenvolvimento do determinante especificamente em 3\times3.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus com os a_{ij} que identifiquei:
Calculo dos produtos positivos:
a_{11}a_{22}a_{33} = 3 \cdot 3 \cdot 6 = 54,
a_{12}a_{23}a_{31} = (-1) \cdot 5 \cdot 2 = -10,
a_{13}a_{21}a_{32} = 4 \cdot 6 \cdot (-1) = -24.
Somando esses três termos:
\text{soma\_positiva} = 54 + (-10) + (-24) = 20.
Calculo dos produtos negativos:
a_{13}a_{22}a_{31} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24,
a_{11}a_{23}a_{32} = 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15,
a_{12}a_{21}a_{33} = (-1) \cdot 6 \cdot 6 = -36.
Somando esses três termos:
\text{soma\_negativa} = 24 + (-15) + (-36) = -27.

Passo 4

Agora aplico a fórmula combinando as somas:
\det(\boldsymbol{J}) = \text{soma\_positiva} - \text{soma\_negativa} = 20 - (-27) = 47.

Passo 5

Verificação alternativa (por desenvolvimento por cofatores ao longo da primeira linha) — isso serve para checar que não houve erro:
\det(\boldsymbol{J}) = a_{11}\det\begin{pmatrix}3 & 5\\[2pt] -1 & 6\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}6 & 5\\[2pt] 2 & 6\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[2pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Calculemos os determinantes das submatrizes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & 5\\[2pt] -1 & 6\end{pmatrix} = 3\cdot6 - 5\cdot(-1) = 18 + 5 = 23,
\det\begin{pmatrix}6 & 5\\[2pt] 2 & 6\end{pmatrix} = 6\cdot6 - 5\cdot2 = 36 - 10 = 26,
\det\begin{pmatrix}6 & 3\\[2pt] 2 & -1\end{pmatrix} = 6\cdot(-1) - 3\cdot2 = -6 - 6 = -12.
Substituindo:
\det(\boldsymbol{J}) = 3\cdot23 - (-1)\cdot26 + 4\cdot(-12) = 69 + 26 - 48 = 47.
A verificação confirma o resultado obtido pela regra de Sarrus.]

Resposta

47

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