Pergunta única: qual é \det(\boldsymbol{I})?
Informações relevantes: todos os elementos da matriz estão explícitos; podemos usar propriedades de determinantes e operações elementares para simplificar a matriz antes de calcular.]
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados de forma simples):
Para uma matriz 3\times3 há várias formas de calcular o determinante: regra de Sarrus, expansão por cofatores, ou simplificando a matriz por operações de linha.
Operação útil: adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o valor do determinante. Em símbolos: se de L_j fazemos L_j \leftarrow L_j + cL_i (com c qualquer escalar e i\neq j), então o determinante permanece o mesmo. Isso é ótimo para criar zeros e facilitar a conta.
Expansão por cofatores (quando a coluna ou linha tem zeros) é prática: se na coluna 1 só o elemento \,a_{11}\, for não nulo, então \det = a_{11} vezes o determinante da submatriz que sobra.
Vou usar a ideia de criar zeros na primeira coluna subtraindo a primeira linha das outras duas.
Passo 3
Aplicando as operações de linha que não alteram o determinante:
efetue L_2 \leftarrow L_2 - L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - L_1. Calculemos linha a linha:
e o determinante continua sendo \det(\boldsymbol{I}) (sem alteração).]
Passo 4
Agora usamos expansão por cofatores ao longo da primeira coluna, que tem duas entradas zero, což facilita muito. A expansão por cofatores na primeira coluna dá
onde C_{11} é o cofator correspondente a a_{11}=4. O cofator C_{11} é ( -1)^{1+1} vezes o determinante da submatriz obtida eliminando a linha 1 e a coluna 1, isto é apenas o determinante da matriz 2\times2
Verificação rápida (opcional, para confiança): usar a regra de Sarrus diretamente na matriz original fornece o mesmo resultado. Fazendo a conta pela regra de Sarrus obtém-se também -8. Então o valor está confirmado. Boa! Você pode usar o truque de zerar colunas/linhas sempre que puder — é um salva-vidas nas provas.