Calcule o determinante das matrizes a seguir, explique os passos.
\boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & 1 \\\\ 4 & 1 & 3 \\\\ 4 & 2 & -1\end{array}\right].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular o determinante da matriz \boldsymbol{I} dada por
\boldsymbol{I}=\begin{pmatrix}4 & 1 & 1 \\[4pt] 4 & 1 & 3 \\[4pt] 4 & 2 & -1\end{pmatrix}.
Pergunta única: qual é \det(\boldsymbol{I})?
Informações relevantes: todos os elementos da matriz estão explícitos; podemos usar propriedades de determinantes e operações elementares para simplificar a matriz antes de calcular.]

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Para uma matriz 3\times3 há várias formas de calcular o determinante: regra de Sarrus, expansão por cofatores, ou simplificando a matriz por operações de linha.
  • Operação útil: adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o valor do determinante. Em símbolos: se de L_j fazemos L_j \leftarrow L_j + cL_i (com c qualquer escalar e i\neq j), então o determinante permanece o mesmo. Isso é ótimo para criar zeros e facilitar a conta.
  • Expansão por cofatores (quando a coluna ou linha tem zeros) é prática: se na coluna 1 só o elemento \,a_{11}\, for não nulo, então \det = a_{11} vezes o determinante da submatriz que sobra.
Vou usar a ideia de criar zeros na primeira coluna subtraindo a primeira linha das outras duas.

Passo 3

Aplicando as operações de linha que não alteram o determinante:
efetue L_2 \leftarrow L_2 - L_1 e L_3 \leftarrow L_3 - L_1. Calculemos linha a linha:
  • L_1 permanece \begin{pmatrix}4 & 1 & 1\end{pmatrix}.
  • L_2 - L_1 = \begin{pmatrix}4 & 1 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
  • L_3 - L_1 = \begin{pmatrix}4 & 2 & -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 & 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 & -2\end{pmatrix}.
A matriz fica
\begin{pmatrix}4 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & -2\end{pmatrix},
e o determinante continua sendo \det(\boldsymbol{I}) (sem alteração).]

Passo 4

Agora usamos expansão por cofatores ao longo da primeira coluna, que tem duas entradas zero, což facilita muito. A expansão por cofatores na primeira coluna dá
\det(\boldsymbol{I}) = 4 \cdot C_{11} + 0\cdot C_{21} + 0\cdot C_{31} = 4 \cdot C_{11},
onde C_{11} é o cofator correspondente a a_{11}=4. O cofator C_{11} é ( -1)^{1+1} vezes o determinante da submatriz obtida eliminando a linha 1 e a coluna 1, isto é apenas o determinante da matriz 2\times2
\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcule o determinante da 2\times2:
para uma matriz \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} vale \det = ad - bc. Aqui a=0, b=2, c=1, d=-2. Então
\det\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix} = 0\cdot(-2) - 2\cdot 1 = -2.
Portanto C_{11} = -2 e
\det(\boldsymbol{I}) = 4 \cdot (-2) = -8.]

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para confiança): usar a regra de Sarrus diretamente na matriz original fornece o mesmo resultado. Fazendo a conta pela regra de Sarrus obtém-se também -8. Então o valor está confirmado. Boa! Você pode usar o truque de zerar colunas/linhas sempre que puder — é um salva-vidas nas provas.

Resposta

-8

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