Q3. Calcule o determinante pelo método de Chió:
A=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & -2 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A abaixo (usando o método de Chió):
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 & 2 \\\\ -1 & 1 & 2 & 3 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Informações relevantes dadas no enunciado:
\begin{cases} \text{A matriz é }5\times5,\\[4pt] \text{o elemento }a_{11}=\;1. \end{cases}é]

Passo 2

Explico o método de Chió (passo a passo, em linguagem simples).
Seja uma matriz n\times n com a_{11}\neq 0. A condensação de Chió constrói uma matriz (n-1)\times (n-1) com entradas
c_{ij}=\frac{a_{11}\,a_{i+1,j+1}-a_{i+1,1}\,a_{1,j+1}}{a_{11}},\quad i,j=1,\dots,n-1.
A relação com o determinante é
\det(A)=a_{11}^{\,n-2}\det\text{(C)}.
Comentário prático: se a_{11}=1 a fórmula simplifica para
c_{ij}=a_{i+1,j+1}-a_{i+1,1}\,a_{1,j+1}
e
\det(A)=\det\text{(C)}.
Ou seja, quando o pivô é 1 podemos reduzir o tamanho da matriz sem fator extra. Se o pivô for diferente de 1 podemos aplicar a fórmula diretamente (surge divisão) ou fazer permutações de linhas/colunas para obter um pivô adequado; permutar linhas troca o sinal do determinante.

Passo 3

Aplicando a condensação de Chió à matriz A. Como a_{11}=1 e n=5 vale \det(A)=\det\text{(C)}, com
c_{ij}=a_{i+1,j+1}-a_{i+1,1}\,a_{1,j+1},\quad i,j=1,\dots,4.
Vou calcular coluna por coluna (pois é mais organizado). Primeiro extraio os vetores usados:
(a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4},a_{1,5})=(-1,\;1,\;-2,\;2),
(a_{2,1},a_{3,1},a_{4,1},a_{5,1})=(-1,\;2,\;-1,\;1).
Agora calculo os c_{ij} explicitamente:
  • Para i=1 (linha 2 de A):
\begin{aligned} c_{11}&=a_{2,2}-a_{2,1}a_{1,2}=1-(-1)(-1)=1-1=0,\\\ c_{12}&=a_{2,3}-a_{2,1}a_{1,3}=2-(-1)(1)=2-(-1)=3,\\\ c_{13}&=a_{2,4}-a_{2,1}a_{1,4}=3-(-1)(-2)=3-2=1,\\\ c_{14}&=a_{2,5}-a_{2,1}a_{1,5}=-1-(-1)(2)=-1-(-2)=1. \end{aligned}
  • Para i=2 (linha 3 de A):
\begin{aligned} c_{21}&=a_{3,2}-a_{3,1}a_{1,2}=1-(2)(-1)=1-(-2)=3,\\\ c_{22}&=a_{3,3}-2\cdot a_{1,3}=1-2\cdot1= -1,\\\ c_{23}&=a_{3,4}-2\cdot a_{1,4}=0-2\cdot(-2)=4,\\\ c_{24}&=a_{3,5}-2\cdot a_{1,5}=1-2\cdot2=-3. \end{aligned}
  • Para i=3 (linha 4 de A):
\begin{aligned} c_{31}&=a_{4,2}-a_{4,1}a_{1,2}=2-(-1)(-1)=2-1=1,\\\ c_{32}&=a_{4,3}-(-1)\cdot a_{1,3}=3-(-1)(1)=3-(-1)=4,\\\ c_{33}&=a_{4,4}-(-1)\cdot a_{1,4}=2-(-1)(-2)=2-2=0,\\\ c_{34}&=a_{4,5}-(-1)\cdot a_{1,5}=1-(-1)(2)=1-(-2)=3. \end{aligned}
  • Para i=4 (linha 5 de A):
\begin{aligned} c_{41}&=a_{5,2}-a_{5,1}a_{1,2}=1-(1)(-1)=1-(-1)=2,\\\ c_{42}&=a_{5,3}-1\cdot a_{1,3}=1-1\cdot1=0,\\\ c_{43}&=a_{5,4}-1\cdot a_{1,4}=0-1\cdot(-2)=2,\\\ c_{44}&=a_{5,5}-1\cdot a_{1,5}=1-1\cdot2=-1. \end{aligned}
Portanto a matriz condensada C é
C=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 & 1 \\\\ 3 & -1 & 4 & -3 \\\\ 1 & 4 & 0 & 3 \\\\ 2 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
E lembrando: \det(A)=\det\text{(C)}.

Passo 4

Observação prática: para aplicar Chió novamente seria conveniente ter c_{11}\neq 0, mas aqui c_{11}=0. Podemos permutar linhas para obter um pivô não nulo na posição (1,1). Atenção: cada troca de duas linhas muda o sinal do determinante.
Escolho trocar a linha 1 com a linha 2 de C. Isso dá uma troca simples e põe 3 na posição (1,1). Após a troca temos
C_1=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 & -3 \\\\ 0 & 3 & 1 & 1 \\\\ 1 & 4 & 0 & 3 \\\\ 2 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix},
e a relação é
\det\text{(C)}=-\det(C_1).

Passo 5

Agora aplico Chió em C_1 (que é 4\times4) com pivô p=a_{11}=3. A fórmula geral dá para a nova 3\times3 (chamo-a de D):
d_{ij}=\frac{p\cdot a_{i+1,j+1}-a_{i+1,1}\cdot a_{1,j+1}}{p},\quad i,j=1,2,3,
e a relação de determinantes é
\det(C_1)=p^{\,4-2}\det(D)=p^{2}\det(D)=3^{2}\det(D)=9\det(D).
Vou calcular os d_{ij}. Primeiro os vetores de referência em C_1:
(a_{1,2},a_{1,3},a_{1,4})=(-1,\;4,\;-3),
(a_{2,1},a_{3,1},a_{4,1})=(0,\;1,\;2).
Cálculos entrada a entrada:
  • Para i=1 ( a_{2,1}=0):
\begin{aligned} d_{11}&=a_{2,2}-\frac{a_{2,1}\,a_{1,2}}{3}=3-\frac{0\cdot(-1)}{3}=3,\\\ d_{12}&=a_{2,3}-\frac{0\cdot 4}{3}=1,\\\ d_{13}&=a_{2,4}-\frac{0\cdot(-3)}{3}=1. \end{aligned}
  • Para i=2 ( a_{3,1}=1):
\begin{aligned} d_{21}&=a_{3,2}-\frac{1\cdot(-1)}{3}=4+\frac{1}{3}=\frac{13}{3},\\\ d_{22}&=a_{3,3}-\frac{1\cdot 4}{3}=0-\frac{4}{3}=-\frac{4}{3},\\\ d_{23}&=a_{3,4}-\frac{1\cdot(-3)}{3}=3+1=4. \end{aligned}
  • Para i=3 ( a_{4,1}=2):
\begin{aligned} d_{31}&=a_{4,2}-\frac{2\cdot(-1)}{3}=0+\frac{2}{3}=\frac{2}{3},\\\ d_{32}&=a_{4,3}-\frac{2\cdot 4}{3}=2-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3},\\\ d_{33}&=a_{4,4}-\frac{2\cdot(-3)}{3}=-1+2=1. \end{aligned}
Assim
D=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\\ \frac{13}{3} & -\frac{4}{3} & 4 \\\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & 1 \end{pmatrix},
e lembrando:
\det\text{(C)}= -\det(C_1) = -9\det(D).

Passo 6

Para evitar trabalhar com frações eu multiplico D por 3 (determinante de 3\times3 escala por 3^{3}). Seja E=3D. Então
E=\begin{pmatrix} 9 & 3 & 3 \\\\ 13 & -4 & 12 \\\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Relação entre determinantes:
\det(E)=3^{3}\det(D)=27\det(D).
Portanto
\det\text{(C)}=-9\det(D)=-9\cdot\frac{\det(E)}{27}= -\frac{1}{3}\det(E).
E como \det(A)=\det\text{(C)} (lembrando desde o início), temos
\det(A)=-\frac{1}{3}\det(E).

Passo 7

Agora calculo \det(E) por expansão (ou regra de Sarrus). Faço expansão pela primeira linha:
\det(E)=9\cdot\det\begin{pmatrix}-4 & 12 \\\\ -2 & 3\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}13 & 12 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}13 & -4 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix}.
Calculo os menores 2×2:
\det\begin{pmatrix}-4 & 12 \\\\ -2 & 3\end{pmatrix}=(-4)\cdot3-12\cdot(-2)=-12+24=12,
\det\begin{pmatrix}13 & 12 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}=13\cdot3-12\cdot2=39-24=15,
\det\begin{pmatrix}13 & -4 \\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=13\cdot(-2)-(-4)\cdot2=-26+8=-18.
Substituindo:
\det(E)=9\cdot12-3\cdot15+3\cdot(-18)=108-45-54=9.

Passo 8

Retomando a relação entre \det(A) e \det(E):
\det(A)=-\frac{1}{3}\det(E)=-\frac{1}{3}\cdot 9=-3.

Resposta

-3

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