Considere os pontos base \left(x_{i}, y_{i}\right), i=0,1, \ldots, n, tais que y_{i}=f\left(x_{i}\right). É verdadeiro afirmar que:

Escolha uma:

\bigcirc
Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.
\bigcirc
Para n=3 o polinômio interpolador não pode ser uma reta.
\bigcirc
A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.
\bigcirc
Se a função f(x) for um polinômio de grau n, então todas as diferenças divididas de ordem n terão valores distintos.
\bigcirc
Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.
Para as duas questões a seguir, considere os pontos:
x_{i} 1 2 4 8
y_{i} 2 5 30 35
.
Use 4 casas decimais.
  • Qual o estimador de quadrados mínimos do parâmetro \beta_{2} do modelo y(x)=\beta_{2} x^{2} ? \square 0,6276
Dica para verificação: o resultado está entre 0 e 1 .
  • Seja o modelo y(x)=\beta_{0}+\beta_{2} x^{2}. Qual a soma dos elementos do vetor de termos independentes das equações normais? \square 2814
Dica para verificação: o resultado está entre 2000 e 3000.

Passo 1

O enunciado contém duas partes distintas:
  • Uma pergunta de múltipla escolha com cinco afirmações (marcadas em ordem). Você deve indicar qual delas é verdadeira:
    1. Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.
    2. Para n=3 o polinômio interpolador não pode ser uma reta.
    3. A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.
    4. Se a função f(x) for um polinômio de grau n, então todas as diferenças divididas de ordem n terão valores distintos.
    5. Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.
  • Dois itens numéricos usando os pontos
\begin{array}{c|cccc} x_i & 1 & 2 & 4 & 8\\hline y_i & 2 & 5 & 30 & 35 \end{array}
a) Calcular o estimador de mínimos quadrados do parâmetro \beta_{2} do modelo y(x)=\beta_{2}x^{2} (modelo sem intercepto). Use 4 casas decimais.
b) Para o modelo y(x)=\beta_{0}+\beta_{2}x^{2}, calcular a soma dos elementos do vetor de termos independentes das equações normais (ou seja, a soma dos elementos de X^{T}y).
Os dados relevantes foram listados acima. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Análise da afirmação 1: “Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.”
Explicação do conceito (passo a passo curto): o polinômio interpolador de Lagrange para grau n é escrito como combinação linear de n+1 polinômios base L_j(x), cada L_j(x) tem grau n. Logo, para um polinômio cúbico (grau 3) precisa-se de 3+1=4 polinômios base de grau 3, não de três. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

Análise da afirmação 2: “Para n=3 o polinômio interpolador não pode ser uma reta.”
O enunciado diz apenas que o polinômio interpolador tem grau no máximo n (a forma padrão: interpolador de grau \le n). Se os pontos caírem todos sobre uma reta, o polinômio interpolador que passa por eles pode perfeitamente ter grau 1 (reta), mesmo que n=3. Exemplo concreto: se y_i=2x_i para quatro abscissas diferentes, o interpolador é a reta y=2x. Logo a afirmação é falsa (não é proibido que seja reta).

Passo 4

Análise da afirmação 3: “A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.”
Explicação didática: o método de Gregory-Newton usa tabelas de diferenças finitas forward/backward e expressa o polinômio em potências de (x-x_0)/h (ou similar), onde h é o espaçamento constante entre abscissas. Essas fórmulas de diferenças sucessivas e os polinômios em termos de u=(x-x_0)/h dependem explicitamente de h constante. Para abscissas não igualmente espaçadas usa-se a formulação em diferenças divididas (Newton clássico), não a tabela de Gregory-Newton. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação 4: “Se a função f(x) for um polinômio de grau n, então todas as diferenças divididas de ordem n terão valores distintos.”
Conceito importante: para um polinômio de grau exatamente n, a diferença dividida de ordem n é constante (não depende de quais n+1 nós você escolheu, desde que use o mesmo polinômio). Ou seja, as diferenças divididas de ordem n são iguais entre si, não “distintas”. Logo a afirmação é falsa.

Passo 6

Análise da afirmação 5: “Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.”
Conceito: as formas de Lagrange e de Newton são apenas representações algebraicamente equivalentes do mesmo polinômio interpolador. Se você monta o polinômio interpolador quadrático pelos dois métodos usando exatamente os mesmos pontos, obtém o mesmo polinômio (coeficientes iguais, apenas expressões diferentes). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 7

Conclusão da parte de múltipla escolha: entre as cinco afirmações, apenas a afirmação 3 é verdadeira:
\text{A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.}çãóç

Passo 8

Agora vamos ao item (a): estimador de mínimos quadrados para o modelo sem intercepto
y(x)=\beta_{2}x^{2}.
Derivação do estimador (didática, passo a passo): no modelo com um único parâmetro \beta_{2} minimizamos a soma dos quadrados dos resíduos
S(\beta_{2})=\sum_{i=1}^{m}\bigl(y_{i}-\beta_{2}x_{i}^{2}\bigr)^{2}.
Para achar o mínimo derivamos em relação a \beta_{2} e igualamos a zero:
\frac{dS}{d\beta_{2}}=-2\sum_{i} x_{i}^{2}\bigl(y_{i}-\beta_{2}x_{i}^{2}\bigr)=0.
Isolando \beta_{2} obtemos a fórmula fechada
\beta_{2}^{\text{(hat)}}=\frac{\sum_{i} x_{i}^{2}y_{i}}{\sum_{i} x_{i}^{4}}.
Explicação dos termos: o numerador é a soma dos produtos x_i^{2}y_i e o denominador é a soma dos x_i^{4}. Isso vem diretamente das equações normais no caso de regressão através da origem.

Passo 9

Cálculo numérico do item (a) com os pontos dados. Primeiro calculamos as potências necessárias e os produtos:
\begin{array}{c|cccc} x_i & 1 & 2 & 4 & 8\\hline x_i^{2} & 1 & 4 & 16 & 64\\\ x_i^{4} & 1 & 16 & 256 & 4096\\\ x_i^{2}y_i & 1\cdot 2 & 4\cdot 5 & 16\cdot 30 & 64\cdot 35 \end{array}
Agora os valores numéricos:
x_i^{2}y_i = 2,\;20,\;480,\;2240.
Somando:
\sum_{i} x_i^{2}y_i = 2+20+480+2240 = 2742.
E
\sum_{i} x_i^{4} = 1+16+256+4096 = 4369.
Logo
\beta_{2}^{\text{(hat)}}=\frac{2742}{4369}\approx 0{,}6276,
arredondado para 4 casas decimais (mostramos a vírgula como pedido). (Verificação rápida: 0{,}6276\times 4369\approx 2741{,}9844, o que confirma o arredondamento correto para 4 casas.)

Passo 10

Agora o item (b): modelo com intercepto
y(x)=\beta_{0}+\beta_{2}x^{2}.
Montagem das equações normais (explicação): a matriz de projeto X tem linhas (1,\;x_i^{2}). As equações normais são
X^{T}X\begin{pmatrix}\beta_{0}\\[4pt]\beta_{2}\end{pmatrix} = X^{T}y.
O vetor de termos independentes (lado direito) é
X^{T}y= \begin{pmatrix} \sum_{i} y_i\\[4pt] \sum_{i} x_i^{2}y_i \end{pmatrix}.
O enunciado pede a soma dos elementos desse vetor, ou seja
\sum_{i} y_i \;+\; \sum_{i} x_i^{2}y_i.]

Passo 11

Cálculo numérico do item (b) usando os somatórios já parcialmente calculados:
\sum_{i} y_i = 2+5+30+35 = 72,
e já temos
\sum_{i} x_i^{2}y_i = 2742.
Somando:
72 + 2742 = 2814.

Resposta

A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.
\hat{\beta}_{2}=0{,}6276
2814

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