Considere os pontos base
, tais que
. É verdadeiro afirmar que:
Escolha uma:
Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.
Para
o polinômio interpolador não pode ser uma reta.
A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.
Se a função
for um polinômio de grau
, então todas as diferenças divididas de ordem
terão valores distintos.
Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.
Para as duas questões a seguir, considere os pontos:
1
2
4
8
2
5
30
35
.
Use 4 casas decimais.
- Qual o estimador de quadrados mínimos do parâmetro
do modelo
?
0,6276
Dica para verificação: o resultado está entre 0 e 1 .
- Seja o modelo
. Qual a soma dos elementos do vetor de termos independentes das equações normais?
2814
Dica para verificação: o resultado está entre 2000 e 3000.
Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.
Para
A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.
Se a função
Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.
|
|
1 | 2 | 4 | 8 |
|
|
2 | 5 | 30 | 35 |
Passo 1
O enunciado contém duas partes distintas:
-
Uma pergunta de múltipla escolha com cinco afirmações (marcadas em ordem). Você deve indicar qual delas é verdadeira:
- Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.
- Para
o polinômio interpolador não pode ser uma reta. - A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.
- Se a função
for um polinômio de grau , então todas as diferenças divididas de ordem terão valores distintos. - Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.
-
Dois itens numéricos usando os pontos
a) Calcular o estimador de mínimos quadrados do parâmetro
do modelo
(modelo sem intercepto). Use 4 casas decimais.
b) Para o modelo , calcular a soma dos elementos do vetor de termos independentes das equações normais (ou seja, a soma dos elementos de
).
b) Para o modelo
Os dados relevantes foram listados acima. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Análise da afirmação 1: “Um polinômio cúbico de Lagrange é construído pela combinação linear de três polinômios de grau três.”
Explicação do conceito (passo a passo curto): o polinômio interpolador de Lagrange para grau
é escrito como combinação linear de
polinômios base
, cada
tem grau
. Logo, para um polinômio cúbico (grau
) precisa-se de
polinômios base de grau
, não de três. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 3
Análise da afirmação 2: “Para
o polinômio interpolador não pode ser uma reta.”
O enunciado diz apenas que o polinômio interpolador tem grau no máximo
(a forma padrão: interpolador de grau
). Se os pontos caírem todos sobre uma reta, o polinômio interpolador que passa por eles pode perfeitamente ter grau 1 (reta), mesmo que
. Exemplo concreto: se
para quatro abscissas diferentes, o interpolador é a reta
. Logo a afirmação é falsa (não é proibido que seja reta).
Passo 4
Análise da afirmação 3: “A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.”
Explicação didática: o método de Gregory-Newton usa tabelas de diferenças finitas forward/backward e expressa o polinômio em potências de
(ou similar), onde
é o espaçamento constante entre abscissas. Essas fórmulas de diferenças sucessivas e os polinômios em termos de
dependem explicitamente de
constante. Para abscissas não igualmente espaçadas usa-se a formulação em diferenças divididas (Newton clássico), não a tabela de Gregory-Newton. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação 4: “Se a função
for um polinômio de grau
, então todas as diferenças divididas de ordem
terão valores distintos.”
Conceito importante: para um polinômio de grau exatamente
, a diferença dividida de ordem
é constante (não depende de quais
nós você escolheu, desde que use o mesmo polinômio). Ou seja, as diferenças divididas de ordem
são iguais entre si, não “distintas”. Logo a afirmação é falsa.
Passo 6
Análise da afirmação 5: “Para uma interpolação quadrática, usando os mesmos pontos, o polinômio de Lagrange e de Newton fornecem resultados diferentes, desprezando os erros de arredondamento.”
Conceito: as formas de Lagrange e de Newton são apenas representações algebraicamente equivalentes do mesmo polinômio interpolador. Se você monta o polinômio interpolador quadrático pelos dois métodos usando exatamente os mesmos pontos, obtém o mesmo polinômio (coeficientes iguais, apenas expressões diferentes). Portanto a afirmação é falsa.
Passo 7
Conclusão da parte de múltipla escolha: entre as cinco afirmações, apenas a afirmação 3 é verdadeira:
Passo 8
Agora vamos ao item (a): estimador de mínimos quadrados para o modelo sem intercepto
Derivação do estimador (didática, passo a passo): no modelo com um único parâmetro
minimizamos a soma dos quadrados dos resíduos
Para achar o mínimo derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Isolando
obtemos a fórmula fechada
Explicação dos termos: o numerador é a soma dos produtos
e o denominador é a soma dos
. Isso vem diretamente das equações normais no caso de regressão através da origem.
Passo 9
Cálculo numérico do item (a) com os pontos dados. Primeiro calculamos as potências necessárias e os produtos:
Agora os valores numéricos:
Somando:
E
Logo
arredondado para 4 casas decimais (mostramos a vírgula como pedido). (Verificação rápida:
, o que confirma o arredondamento correto para 4 casas.)
Passo 10
Agora o item (b): modelo com intercepto
Montagem das equações normais (explicação): a matriz de projeto
tem linhas
. As equações normais são
O vetor de termos independentes (lado direito) é
O enunciado pede a soma dos elementos desse vetor, ou seja
Passo 11
Cálculo numérico do item (b) usando os somatórios já parcialmente calculados:
e já temos
Somando:
Resposta
A interpolação de Gregory-Newton só pode ser usada se as abscissas forem igualmente espaçadas.