Questāo 5 Sobre os polinōmios interpoladores, é falso afirmar que:
A As diferenças finitas de ordem
de um polinômio de grau
são todas iguais ao coeficiente lider.
(B) Os polinómios de Newton possibilitam aumentar o grau de 2 para 3 adicionando mais un termo, ao contrário dos polinómios de Lagrange.
(C) As ordenadas dos pontos-base apareoem explicitamente na expressio do polinómio de Lagrange, ao contrário do polinómio de Gregory-Newton.
D Considerando pontos de abscissas igualmente espaçadas, o erro da interpolação dos polinómios de Lagrange, Newton e Gregory-Newton é o mesmo.
E. Um polinómio de Lagrange de grau 3 é formado pela combinaçũo de 4 polinòmios de grau 3.
A As diferenças finitas de ordem
(B) Os polinómios de Newton possibilitam aumentar o grau de 2 para 3 adicionando mais un termo, ao contrário dos polinómios de Lagrange.
(C) As ordenadas dos pontos-base apareoem explicitamente na expressio do polinómio de Lagrange, ao contrário do polinómio de Gregory-Newton.
D Considerando pontos de abscissas igualmente espaçadas, o erro da interpolação dos polinómios de Lagrange, Newton e Gregory-Newton é o mesmo.
E. Um polinómio de Lagrange de grau 3 é formado pela combinaçũo de 4 polinòmios de grau 3.
Passo 1
O enunciado pergunta: entre as afirmações A, B, C, D e E sobre polinômios interpoladores, qual delas é falsa. As informações dadas (as afirmações) são:
A) As diferenças finitas de ordem
de um polinómio de grau
são todas iguais ao coeficiente líder.
B) Os polinómios de Newton possibilitam aumentar o grau de
para
adicionando mais um termo, ao contrário dos polinómios de Lagrange.
C) As ordenadas dos pontos-base aparecem explicitamente na expressão do polinómio de Lagrange, ao contrário do polinómio de Gregory–Newton.
D) Considerando pontos de abscissas igualmente espaçadas, o erro da interpolação dos polinómios de Lagrange, Newton e Gregory–Newton é o mesmo.
E) Um polinómio de Lagrange de grau
é formado pela combinação de
polinômios de grau
.
Passo 2
Entender e explicar o que significa a afirmação A (diferenças finitas de ordem
e coeficiente líder). Vamos definir com calma:
- Seja um polinómio
, onde é o coeficiente líder (o coeficiente de maior grau). - As diferenças finitas são definidas para um passo
. A diferença progressiva de primeira ordem é
- A diferença de ordem
é , e assim por diante até .
Agora uma propriedade importante (que vou ensinar): para um polinómio de grau
, a diferença de ordem
é constante (independe de
) e é proporcional ao coeficiente líder. Mais precisamente, para passo
,
- Explicação rápida dessa fórmula: a operação
é análoga discreta à derivada; cada aplicação de “reduz o grau” de forma análoga a derivar, e no fim sobra um múltiplo de envolvendo e . Um caso simples: para e , e , que é .
Conclusão parcial: a diferença
é constante, mas não é igual a
em geral; é igual a
. Se
então
. Logo, a afirmação A (que diz que as
são todas iguais ao coeficiente líder) parece incorreta porque falta o fator
.
Passo 3
Agora vou explicar e verificar a afirmação B (Newton vs Lagrange, acrescentar ponto e aumentar grau):
- Forma de Newton (divided differences) para pontos
tem a escrita
onde os
são diferenças divididas calculadas a partir das ordenadas
. O ponto prático: se eu adicionar um novo ponto
, eu posso calcular apenas o novo coeficiente
(usando as novas diferenças divididas) e acrescentar o termo
ao polinómio — o que aumenta o grau sem recomputar todos os coeficientes anteriores.
- Forma de Lagrange:
onde
Se adicionarmos um novo ponto, todas as
mudam (porque cada produto depende de todos os nós), logo normalmente recriamos toda a expressão.
Conclusão: a afirmação B está correta: o polinómio de Newton permite estender o grau apenas adicionando um termo, ao passo que Lagrange exige recomputar as bases. Isso confirma que B é verdadeira.
Passo 4
Agora a afirmação C (ordenadas aparecem explicitamente em Lagrange, ao contrário de Gregory–Newton):
- No polinómio de Lagrange
vemos os valores multiplicando as bases — os aparecem explicitamente, cada um como fator multiplicativo. - O polinómio de Gregory–Newton (que é a variante de Newton para nós igualmente espaçados) escreve o polinómio em termos de diferenças finitas:
onde
e as
são diferenças finitas; embora as diferenças finitas sejam calculadas a partir das ordenadas
, as
não aparecem simplesmente multiplicando uma base como em Lagrange — aparecem combinadas nas diferenças. Por isso a afirmação C está correta na ideia que apresenta (Lagrange mostra
diretamente; Gregory–Newton usa diferenças).
Passo 5
A afirmação D (erro da interpolação é o mesmo para Lagrange, Newton e Gregory–Newton com nós igualmente espaçados):
- Teorema do resto da interpolação (fórmula geral): se interpolamos uma função
por um polinómio de grau em nós , o erro em um ponto é
para algum
entre os nós (é a versão contínua do resto de Taylor generalizada). Essa fórmula não depende da forma explícita (Lagrange, Newton, Gregory–Newton) do polinómio: todos geram o mesmo polinómio interpolador único de grau
que passa pelos pontos dados. Portanto, o erro (resto) é o mesmo para qualquer fórmula que represente esse polinómio.
- Observação: Gregory–Newton é apenas a forma de Newton adaptada a nós igualmente espaçados, logo representa o mesmo polinómio. Logo D é verdadeira.
Passo 6
A afirmação E (polinômio de Lagrange de grau
é combinação de
polinômios de grau
):
- Para grau
precisamos de pontos . A forma de Lagrange é
cada
é produto de
fatores lineares, logo cada
é um polinómio de grau
. Portanto
é uma combinação linear de
polinómios de grau
. A afirmação E está correta.
Passo 7
Recapitulando e concluindo qual afirmação é falsa:
- A: afirma que
são iguais ao coeficiente líder . Como mostrei, na verdade
portanto não é igual a
em geral (falta o fator
). Logo A é falsa.
-
B é verdadeira (Newton permite acrescentar termo sem recomputar tudo).
-
C é verdadeira (Lagrange mostra
explicitamente, Gregory–Newton usa diferenças). -
D é verdadeira (o erro depende do mesmo resto para o polinómio interpolador único).
-
E é verdadeira (grau
usa 4 bases de grau ).
Portanto a única falsa é a A.
Resposta
A