Questāo 5 Sobre os polinōmios interpoladores, é falso afirmar que:
A As diferenças finitas de ordem n\left(\Delta^{n} \eta_{i}\right) de um polinômio de grau n são todas iguais ao coeficiente lider.
(B) Os polinómios de Newton possibilitam aumentar o grau de 2 para 3 adicionando mais un termo, ao contrário dos polinómios de Lagrange.
(C) As ordenadas dos pontos-base apareoem explicitamente na expressio do polinómio de Lagrange, ao contrário do polinómio de Gregory-Newton.
D Considerando pontos de abscissas igualmente espaçadas, o erro da interpolação dos polinómios de Lagrange, Newton e Gregory-Newton é o mesmo.
E. Um polinómio de Lagrange de grau 3 é formado pela combinaçũo de 4 polinòmios de grau 3.

Passo 1

O enunciado pergunta: entre as afirmações A, B, C, D e E sobre polinômios interpoladores, qual delas é falsa. As informações dadas (as afirmações) são:
A) As diferenças finitas de ordem n \big(\Delta^{n}\eta_{i}\big) de um polinómio de grau n são todas iguais ao coeficiente líder.
B) Os polinómios de Newton possibilitam aumentar o grau de 2 para 3 adicionando mais um termo, ao contrário dos polinómios de Lagrange.
C) As ordenadas dos pontos-base aparecem explicitamente na expressão do polinómio de Lagrange, ao contrário do polinómio de Gregory–Newton.
D) Considerando pontos de abscissas igualmente espaçadas, o erro da interpolação dos polinómios de Lagrange, Newton e Gregory–Newton é o mesmo.
E) Um polinómio de Lagrange de grau 3 é formado pela combinação de 4 polinômios de grau 3.

Passo 2

Entender e explicar o que significa a afirmação A (diferenças finitas de ordem n e coeficiente líder). Vamos definir com calma:
  • Seja um polinómio \displaystyle p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0, onde a_n é o coeficiente líder (o coeficiente de maior grau).
  • As diferenças finitas são definidas para um passo h. A diferença progressiva de primeira ordem é
\Delta p(x)=p(x+h)-p(x).
  • A diferença de ordem 2 é \displaystyle \Delta^{2}p(x)=\Delta\big(\Delta p(x)\big), e assim por diante até \Delta^{n}p(x).
Agora uma propriedade importante (que vou ensinar): para um polinómio de grau n, a diferença de ordem n é constante (independe de x) e é proporcional ao coeficiente líder. Mais precisamente, para passo h,
\Delta^{n} p(x)=a_n\, n!\, h^{n}.
  • Explicação rápida dessa fórmula: a operação \Delta é análoga discreta à derivada; cada aplicação de \Delta “reduz o grau” de forma análoga a derivar, e no fim sobra um múltiplo de a_n envolvendo n! e h^n. Um caso simples: para p(x)=ax^2 e h=1, \Delta p(x)=a\big((x+1)^2-x^2\big)=a(2x+1) e \Delta^2 p(x)=\Delta(a(2x+1))=2a, que é a\cdot 2!.
Conclusão parcial: a diferença \Delta^{n}p(x) é constante, mas não é igual a a_n em geral; é igual a a_n n! h^n. Se h=1 então \Delta^{n}p(x)=a_n n!. Logo, a afirmação A (que diz que as \Delta^n\eta_i são todas iguais ao coeficiente líder) parece incorreta porque falta o fator n! h^n.

Passo 3

Agora vou explicar e verificar a afirmação B (Newton vs Lagrange, acrescentar ponto e aumentar grau):
  • Forma de Newton (divided differences) para pontos x_0,\dots,x_n tem a escrita
N_n(x)=c_0 + c_1(x-x_0) + c_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots + c_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1}),
onde os c_k são diferenças divididas calculadas a partir das ordenadas y_i. O ponto prático: se eu adicionar um novo ponto (x_{n+1},y_{n+1}), eu posso calcular apenas o novo coeficiente c_{n+1} (usando as novas diferenças divididas) e acrescentar o termo
c_{n+1}(x-x_0)\cdots(x-x_n)
ao polinómio — o que aumenta o grau sem recomputar todos os coeficientes anteriores.
  • Forma de Lagrange:
L_n(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i \ell_i(x),
onde
\ell_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Se adicionarmos um novo ponto, todas as \ell_i(x) mudam (porque cada produto depende de todos os nós), logo normalmente recriamos toda a expressão.
Conclusão: a afirmação B está correta: o polinómio de Newton permite estender o grau apenas adicionando um termo, ao passo que Lagrange exige recomputar as bases. Isso confirma que B é verdadeira.

Passo 4

Agora a afirmação C (ordenadas aparecem explicitamente em Lagrange, ao contrário de Gregory–Newton):
  • No polinómio de Lagrange L_n(x)=\sum_{i=0}^n y_i \ell_i(x) vemos os valores y_i multiplicando as bases \ell_i — os y_i aparecem explicitamente, cada um como fator multiplicativo.
  • O polinómio de Gregory–Newton (que é a variante de Newton para nós igualmente espaçados) escreve o polinómio em termos de diferenças finitas:
G_n(x)=\eta_0 + \frac{\Delta \eta_0}{1!}t + \frac{\Delta^2 \eta_0}{2!}t(t-1)+\cdots
onde t=\dfrac{x-x_0}{h} e as \Delta^k\eta_0 são diferenças finitas; embora as diferenças finitas sejam calculadas a partir das ordenadas y_i, as y_i não aparecem simplesmente multiplicando uma base como em Lagrange — aparecem combinadas nas diferenças. Por isso a afirmação C está correta na ideia que apresenta (Lagrange mostra y_i diretamente; Gregory–Newton usa diferenças).

Passo 5

A afirmação D (erro da interpolação é o mesmo para Lagrange, Newton e Gregory–Newton com nós igualmente espaçados):
  • Teorema do resto da interpolação (fórmula geral): se interpolamos uma função f por um polinómio de grau n em nós x_0,\dots,x_n, o erro em um ponto x é
R_n(x)=f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)
para algum \xi entre os nós (é a versão contínua do resto de Taylor generalizada). Essa fórmula não depende da forma explícita (Lagrange, Newton, Gregory–Newton) do polinómio: todos geram o mesmo polinómio interpolador único de grau n que passa pelos pontos dados. Portanto, o erro (resto) é o mesmo para qualquer fórmula que represente esse polinómio.
  • Observação: Gregory–Newton é apenas a forma de Newton adaptada a nós igualmente espaçados, logo representa o mesmo polinómio. Logo D é verdadeira.

Passo 6

A afirmação E (polinômio de Lagrange de grau 3 é combinação de 4 polinômios de grau 3):
  • Para grau 3 precisamos de 4 pontos x_0,x_1,x_2,x_3. A forma de Lagrange é
L_3(x)=\sum_{i=0}^{3} y_i \ell_i(x),
cada \ell_i(x)=\displaystyle\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{3}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} é produto de 3 fatores lineares, logo cada \ell_i(x) é um polinómio de grau 3. Portanto L_3(x) é uma combinação linear de 4 polinómios de grau 3. A afirmação E está correta.

Passo 7

Recapitulando e concluindo qual afirmação é falsa:
  • A: afirma que \Delta^{n}\eta_i são iguais ao coeficiente líder a_n. Como mostrei, na verdade
\Delta^{n} p(x)=a_n\, n!\, h^{n},
portanto não é igual a a_n em geral (falta o fator n!h^n). Logo A é falsa.
  • B é verdadeira (Newton permite acrescentar termo sem recomputar tudo).
  • C é verdadeira (Lagrange mostra y_i explicitamente, Gregory–Newton usa diferenças).
  • D é verdadeira (o erro depende do mesmo resto para o polinómio interpolador único).
  • E é verdadeira (grau 3 usa 4 bases de grau 3).
Portanto a única falsa é a A.

Resposta

A

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