Calcule o determinante de A onde
A=\left(\begin{array}{lllll}9 & 1 & 9 & 9 & 9 \\\\ 9 & 0 & 9 & 9 & 2 \\\\ 4 & 0 & 0 & 5 & 0 \\\\ 9 & 0 & 3 & 9 & 0 \\\\ 6 & 0 & 0 & 7 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A.
A matriz A fornecida é
A=\begin{pmatrix} 9 & 1 & 9 & 9 & 9 \\\\ 9 & 0 & 9 & 9 & 2 \\\\ 4 & 0 & 0 & 5 & 0 \\\\ 9 & 0 & 3 & 9 & 0 \\\\ 6 & 0 & 0 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • A é uma matriz 5\times5.
  • A segunda coluna de A tem apenas um elemento não nulo: a_{12}=1; os demais elementos da coluna 2 são zero.
  • A quinta coluna tem apenas dois elementos não nulos: a_{15}=9 e a_{25}=2.
  • As linhas e colunas contêm vários zeros, o que costuma facilitar cálculo por expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo de uma linha/coluna com muitos zeros.

Passo 2

Conceito usado: expansão por cofatores (expansão de Laplace).
  • Para uma matriz n\times n, o determinante pode ser calculado expandindo-se ao longo de qualquer linha ou coluna.
  • Se expandirmos ao longo da coluna j, vale
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. Cada (-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é chamado cofator.
  • Estratégia prática: escolher uma coluna (ou linha) com muitos zeros para reduzir o número de determinantes menores a calcular.
Justificativa da escolha: como a coluna 2 tem apenas a_{12}=1 diferente de zero, expandir ao longo da coluna 2 torna o cálculo muito simples (só precisamos calcular um menor 4\times4).

Passo 3

Aplicando expansão de Laplace ao longo da coluna 2:
a_{12}=1 contribui, logo
\det(A)=(-1)^{1+2} \cdot a_{12}\cdot \det(M_{12}) = (-1)^{3}\cdot 1\cdot \det(M_{12}) = -\det(M_{12}),
onde M_{12} é a matriz 4\times4 obtida de A removendo a linha 1 e a coluna 2.
Vamos escrever M_{12} explicitamente (mantendo a ordem das colunas remanescentes 1,3,4,5):
M_{12}=\begin{pmatrix} 9 & 9 & 9 & 2\\\\ 4 & 0 & 5 & 0\\\\ 9 & 3 & 9 & 0\\\\ 6 & 0 & 7 & 0 \end{pmatrix}.
Portanto
\det(A)=-\det\!\begin{pmatrix} 9 & 9 & 9 & 2\\\\ 4 & 0 & 5 & 0\\\\ 9 & 3 & 9 & 0\\\\ 6 & 0 & 7 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Observação útil sobre M_{12}: a quarta coluna de M_{12} tem apenas um elemento não nulo: o elemento na primeira linha, que vale 2. Assim, é eficiente expandir \det(M_{12}) ao longo da coluna 4 dessa matriz.
Aplicando expansão na coluna 4 de M_{12}:
\det(M_{12})=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+4} m_{i4}\det(M_{i4}).
m_{14}=2 é não nulo, então
\det(M_{12}) = (-1)^{1+4}\cdot 2 \cdot \det(N) = (-1)^{5}\cdot 2\cdot \det(N) = -2\det(N),
onde N é o menor 3\times3 obtido removendo a linha 1 e a coluna 4 de M_{12}. Escrevendo N:
N=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 5\\\\ 9 & 3 & 9\\\\ 6 & 0 & 7 \end{pmatrix}.
Assim
\det(A) = -\det(M_{12}) = -\big(-2\det(N)\big) = 2\det(N).
Resumo até aqui: reduzimos o problema para calcular \det(N) de uma matriz 3\times3.

Passo 5

Calculando \det(N) por regra de Sarrus ou pela expansão por cofatores. Vou usar a fórmula padrão para 3\times3:
Para
N=\begin{pmatrix} n_{11} & n_{12} & n_{13}\\\ n_{21} & n_{22} & n_{23}\\\ n_{31} & n_{32} & n_{33} \end{pmatrix},
temos
\det(N)=n_{11}(n_{22}n_{33}-n_{23}n_{32})-n_{12}(n_{21}n_{33}-n_{23}n_{31})+n_{13}(n_{21}n_{32}-n_{22}n_{31}).
No nosso caso,
N=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 5\\\\ 9 & 3 & 9\\\\ 6 & 0 & 7 \end{pmatrix},
então n_{11}=4, n_{12}=0, n_{13}=5, n_{21}=9, n_{22}=3, n_{23}=9, n_{31}=6, n_{32}=0, n_{33}=7.
Substituindo na fórmula:
\det(N)=4\big(3\cdot7-9\cdot0\big)-0\big(9\cdot7-9\cdot6\big)+5\big(9\cdot0-3\cdot6\big).
Calcule termo a termo:
  • 3\cdot7-9\cdot0 = 21-0 = 21.
  • O segundo termo é zero porque n_{12}=0.
  • 9\cdot0-3\cdot6 = 0-18 = -18.
Logo
\det(N)=4\cdot 21 + 5\cdot(-18) = 84 - 90 = -6.

Passo 6

Retornando aos passos anteriores:
  • Encontramos \det(N) = -6.
  • Então \det(M_{12}) = -2\det(N) = -2\cdot(-6)=12.
  • Finalmente, \det(A) = -\det(M_{12}) = -12.
Eu sei que parece muita conta, mas a ideia-chave é sempre procurar linhas/colunas com muitos zeros para usar a expansão de Laplace — isso transforma um problema grande em menores e fáceis de calcular. Vai dar certo na prova também!

Resposta

-12

Exercícios relacionados