Encontre os valores \mathrm{d} k para os quais a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} k-3 & 0 & 3 \\\\ 0 & k+2 & 0 \\\\ -5 & 0 & k+5 \end{array}\right]é não inversível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{bmatrix} k-3 & 0 & 3 \\\\ 0 & k+2 & 0 \\\\ -5 & 0 & k+5 \end{bmatrix}
e pede: encontrar os valores de k para os quais A é não inversível (ou seja, não tem inversa).
Informações relevantes que temos:
  • A matriz é 3\times3.
  • Para uma matriz quadrada, ser não inversível é equivalente ao determinante ser zero.
  • O que precisamos achar são os k que anulam o determinante de A.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, \det(A)\neq0.
Portanto, para achar quando A é não inversível basta calcular \det(A) em função de k e resolver a equação
\det(A)=0.
Vou calcular \det(A) de maneira simples aproveitando os muitos zeros na matriz: é conveniente expandir o determinante pela segunda coluna, porque nessa coluna só aparece um elemento não nulo, k+2, na posição (2,2).

Passo 3

Regra usada (cofator): a expansão pela coluna j
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+j} a_{ij}\,M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante do menor obtido retirando a linha i e a coluna j. Aqui escolhemos j=2. Como a_{1,2}=0 e a_{3,2}=0, só resta o termo i=2:
\det(A)=(-1)^{2+2}\,(k+2)\,M_{2,2}=(k+2)\,M_{2,2}.

Passo 4

Calcular o menor M_{2,2}: retirar a linha 2 e a coluna 2 da matriz A deixa a matriz 2\times2
\begin{bmatrix} k-3 & 3\\\\ -5 & k+5 \end{bmatrix}.
O determinante desse 2\times2 é
M_{2,2}=(k-3)(k+5)- (3)(-5).
Agora faço as contas passo a passo:
(k-3)(k+5)=k^2+5k-3k-15=k^2+2k-15,
e
- (3)(-5)=+15.
Somando:
M_{2,2}=k^2+2k-15+15=k^2+2k.

Passo 5

Substituindo em \det(A):
\det(A)=(k+2)\,(k^2+2k).
Fatorando k^2+2k:
k^2+2k=k(k+2).
Portanto
\det(A)=(k+2)\cdot k\cdot (k+2)=k\,(k+2)^2.

Passo 6

Agora resolvo \det(A)=0:
k\,(k+2)^2=0.
Um produto é zero quando algum fator é zero. Assim as soluções são
k=0\quad\text{ou}\quad k+2=0\Rightarrow k=-2.
Observação: k=-2 é raiz dupla (multiplicidade 2), mas isso só significa que o fator (k+2) aparece ao quadrado; para a pergunta “quando é não inversível” basta saber que nesses valores o determinante anula.

Resposta

k=0
k=-2

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