e pede: encontrar os valores de k para os quais A é não inversível (ou seja, não tem inversa).
Informações relevantes que temos:
A matriz é 3\times3.
Para uma matriz quadrada, ser não inversível é equivalente ao determinante ser zero.
O que precisamos achar são os k que anulam o determinante de A.
Passo 2
Conceito importante (explicado passo a passo): uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, \det(A)\neq0.
Portanto, para achar quando A é não inversível basta calcular \det(A) em função de k e resolver a equação
\det(A)=0.
Vou calcular \det(A) de maneira simples aproveitando os muitos zeros na matriz: é conveniente expandir o determinante pela segunda coluna, porque nessa coluna só aparece um elemento não nulo, k+2, na posição (2,2).
Passo 3
Regra usada (cofator): a expansão pela coluna j dá
\det(A)=\sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+j} a_{ij}\,M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante do menor obtido retirando a linha i e a coluna j. Aqui escolhemos j=2. Como a_{1,2}=0 e a_{3,2}=0, só resta o termo i=2:
Um produto é zero quando algum fator é zero. Assim as soluções são
k=0\quad\text{ou}\quad k+2=0\Rightarrow k=-2.
Observação: k=-2 é raiz dupla (multiplicidade 2), mas isso só significa que o fator (k+2) aparece ao quadrado; para a pergunta “quando é não inversível” basta saber que nesses valores o determinante anula.