Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & -4 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] é idempotente, isto é, A^{2}=A.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -2 & -4 \\[4pt] -1 & 3 & 4 \\[4pt] 1 & -2 & -3\end{pmatrix}
e pede para mostrar que A^{2}=A. Ou seja, é necessário calcular A\cdot A e verificar que cada entrada do produto coincide com a entrada correspondente de A.]

Passo 2

Regra para multiplicar matrizes (mini-aula rápida): se B=A\cdot A, então a entrada na linha i e coluna j de B é
(B)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} a_{ik}\,a_{kj},
onde a_{ik} é a entrada da linha i e coluna k de A, e a_{kj} é a entrada da linha k e coluna j de A. Na prática isso significa: para obter (A^{2})_{ij} faz-se o produto escalar da linha i de A com a coluna j de A.
Agora vamos calcular entrada por entrada do produto A^{2}.

Passo 3

Cálculo de (A^{2})_{11}: produto da linha 1 de A pela coluna 1 de A.
(A^{2})_{11}=2\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + (-4)\cdot1 = 4 + 2 - 4 = 2.
Compare: (A)_{11}=2. OK.

Passo 4

Cálculo de (A^{2})_{12}: linha 1 pela coluna 2.
(A^{2})_{12}=2\cdot(-2) + (-2)\cdot3 + (-4)\cdot(-2) = -4 -6 +8 = -2.
Compare: (A)_{12}=-2. OK.

Passo 5

Cálculo de (A^{2})_{13}: linha 1 pela coluna 3.
(A^{2})_{13}=2\cdot(-4) + (-2)\cdot4 + (-4)\cdot(-3) = -8 -8 +12 = -4.
Compare: (A)_{13}=-4. OK.

Passo 6

Cálculo de (A^{2})_{21}: linha 2 pela coluna 1.
(A^{2})_{21}=(-1)\cdot2 + 3\cdot(-1) + 4\cdot1 = -2 -3 +4 = -1.
Compare: (A)_{21}=-1. OK.

Passo 7

Cálculo de (A^{2})_{22}: linha 2 pela coluna 2.
(A^{2})_{22}=(-1)\cdot(-2) + 3\cdot3 + 4\cdot(-2) = 2 +9 -8 = 3.
Compare: (A)_{22}=3. OK.

Passo 8

Cálculo de (A^{2})_{23}: linha 2 pela coluna 3.
(A^{2})_{23}=(-1)\cdot(-4) + 3\cdot4 + 4\cdot(-3) = 4 +12 -12 = 4.
Compare: (A)_{23}=4. OK.

Passo 9

Cálculo de (A^{2})_{31}: linha 3 pela coluna 1.
(A^{2})_{31}=1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) + (-3)\cdot1 = 2 +2 -3 = 1.
Compare: (A)_{31}=1. OK.

Passo 10

Cálculo de (A^{2})_{32}: linha 3 pela coluna 2.
(A^{2})_{32}=1\cdot(-2) + (-2)\cdot3 + (-3)\cdot(-2) = -2 -6 +6 = -2.
Compare: (A)_{32}=-2. OK.

Passo 11

Cálculo de (A^{2})_{33}: linha 3 pela coluna 3.
(A^{2})_{33}=1\cdot(-4) + (-2)\cdot4 + (-3)\cdot(-3) = -4 -8 +9 = -3.
Compare: (A)_{33}=-3. OK.

Passo 12

Como todas as nove entradas de A^{2} coincidem com as entradas correspondentes de A, concluímos que
A^{2}=A.
Isso mostra que a matriz dada é idempotente.

Resposta

A^{2}=A

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