Para a matriz A=\left(a_{i j}\right) de ordem 2 definida por a_{i j}=i+j, calcular f(t)=\operatorname{det}\left(A-t I_{2}\right) e resolver a equação do segundo grau f(t)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=(a_{ij}) de ordem 2 com entradas definidas por a_{ij}=i+j. Pede-se:
  • Calcular f(t)=\det\!\bigl(A-tI_{2}\bigr).
  • Resolver a equação do segundo grau f(t)=0.
Informações diretas extraídas do enunciado:
  • A matriz é 2\times2.
  • A regra para as entradas é a_{ij}=i+j para i,j\in\{1,2\}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente as entradas de A usando a_{ij}=i+j.
Calcular cada elemento:
a_{11}=1+1=2, \qquad a_{12}=1+2=3, \qquad a_{21}=2+1=3, \qquad a_{22}=2+2=4.
Portanto, a matriz A é
A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Formar a matriz A-tI_{2}. Aqui I_{2} é a matriz identidade 2\times2:
I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por t e subtraindo de A obtemos
A-tI_{2}=\begin{pmatrix}2-t & 3 \\[4pt] 3 & 4-t\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para calcular f(t)=\det\!\bigl(A-tI_{2}\bigr) usamos a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a=2-t, b=3, c=3, d=4-t. Aplicando a fórmula:
f(t)=(2-t)(4-t)-3\cdot 3.]

Passo 5

Expandir e simplificar f(t). Primeiro expandir o produto:
(2-t)(4-t)=2\cdot4 -2t -4t + t^{2}=8-6t+t^{2}.
Subtraindo 3\cdot3=9 obtemos
f(t)=\bigl(8-6t+t^{2}\bigr)-9 = t^{2}-6t-1.

Passo 6

Agora resolver a equação quadrática f(t)=0, ou seja
t^{2}-6t-1=0.
Para resolver uma equação do tipo \,at^{2}+bt+c=0, usaremos a fórmula quadrática:
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Aqui identificamos
a=1,\qquad b=-6,\qquad c=-1.

Passo 7

Calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=36+4=40.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}.
Aplicando a fórmula:
t=\frac{-(-6)\pm 2\sqrt{10}}{2\cdot1}=\frac{6\pm 2\sqrt{10}}{2}=3\pm\sqrt{10}.

Resposta

f(t)=t^{2}-6t-1
t=3+\sqrt{10}
t=3-\sqrt{10}

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