Calcule o determinante da seguinte matriz.
M=[rrrr 0 & 1 & -1 & 2 1 & 3 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 3 4 & -2 & 1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de
M = 0 & 1 & -1 & 2 1 & 3 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 3 4 & -2 & 1 & 2
O conteúdo é determinante de matriz 4times4. Vamos usar operações elementares de linha: trocar linhas inverte o sinal do determinante; somar múltiplo de uma linha em outra não altera o determinante.

Passo 2

Para facilitar pivôs, trocamos a linha 1 com a linha 2. Chamemos de M' a nova matriz. Essa troca inverte o sinal do determinante:
det(M) = -,det(M'),
onde
M' = 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 2 & 0 & 0 & 3 4 & -2 & 1 & 2

Passo 3

Zeramos abaixo do pivô M'11=1 usando linhas 3 e 4:
R3 R3 - 2R1 , R4 R4 - 4R1
Isso não altera o determinante. A matriz vira
M'' = 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 0 & -6 & -2 & 3 0 & -14 & -3 & 2

Passo 4

Agora usamos o pivô M''22=1 para zerar abaixo dele:
R3 R3 + 6,R2 , R4 R4 + 14,R2,
mantendo o determinante. Fica
M''' = 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -8 & 15 0 & 0 & -17 & 30

Passo 5

Note que M''' está em forma de bloco triangular
M''' = A & B 0 & C ,
com
A = 1 & 3 0 & 1, C = -8 & 15 -17 & 30
Para matriz em bloco triangular vale
det(M''') = det(A),det(C)
Calculamos
det(A) = 1cdot1 - 3cdot0 = 1, det(C) = (-8)cdot30 - 15cdot(-17) = -240 + 255 = 15
Logo
det(M''') = 1 times 15 = 15
Como fizemos apenas uma troca de linha no Passo 2,
det(M) = -,det(M') = -,det(M''') = -15

Resposta

-15

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