Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas e .
Determine condições sobre a e b para que esse sistema admita uma única solução; infinitas soluções; ou não admita solução alguma.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em duas incógnitas
e pede as condições sobre para que o sistema tenha exatamente uma solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo aqui é Álgebra Linear básica: usamos determinante de matriz e análise de consistência quando o determinante é zero.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
det 3 & 1 a & 2 =3cdot2 - acdot1 =6 - a
Passo 3
Se o determinante for diferente de zero, o sistema é compatível determinado (tem única solução). Logo,
6 - a neq 0 Long<=ftrightarrow a neq 6
Passo 4
Se o determinante for zero, isto é a=6, as duas equações ficam
3x + y = b, 6x + 2y = 4
Mas a segunda é 2 vezes a primeira, que dá 6x+2y=2b. Para que isso coincida com 6x+2y=4 precisamos de
2b = 4 Long<=ftrightarrow b = 2
Passo 5
Assim, quando a=6, se b=2 as duas equações são equivalentes e o sistema tem infinitas soluções (uma família de retas coincidentes). Se a=6 e bneq2, as equações são paralelas e não há solução.
Resposta
Única solução se a neq 6.
Infinitas soluções se a = 6 e b = 2.
Nenhuma solução se a = 6 e b neq 2.