Determine o conjunto solução do seguinte sistema linear homogêneo que tem como matriz de coeficientes a matriz .

Passo 1

Estamos diante de um sistema homogêneo de quatro equações lineares em quatro incógnitas (x,y,z,w). O objetivo é encontrar o espaço nulo da matriz de coeficientes
M = 0 & 1 & -1 & 2 1 & 3 & 1 & 0 2 & 0 & 0 & 3 4 & -2 & 1 & 2
Como é homogêneo, sabemos que sempre existe a solução trivial (0,0,0,0); precisamos verificar se há soluções não triviais. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e testar se alguma variável pode ser parametrizada livremente ou se o determinante de M é não nulo (o que implicaria inversibilidade e, portanto, só a solução trivial).

Passo 2

Da terceira equação
2x + 3w = 0
isolamos x em função de w. Para evitar frações, tomamos w = 2t. Então
2x + 3(2t) = 0 Longrightarrow 2x + 6t = 0 Longrightarrow x = -3t

Passo 3

Substituímos x=-3t e w=2t na primeira equação
y - z + 2w = 0 Longrightarrow y - z + 4t = 0 Longrightarrow y = z - 4t,
e na segunda
x + 3y + z = 0 Longrightarrow -3t + 3(z-4t) + z = 0 Longrightarrow 4z - 15t = 0 Longrightarrow z = tfrac154t,
o que dá
y = tfrac154t - 4t = -tfrac14t

Passo 4

Agora testamos essas expressões na quarta equação
4x - 2y + z + 2w = 0
Substituindo x=-3t, y=-tfrac14t, z=tfrac154t, w=2t, obtemos
4(-3t)-2l(-tfrac14tr)+tfrac154t+2(2t) =-12t+tfrac12t+tfrac154t+4t =-tfrac154t
Para que isso seja zero, devemos ter t=0. Logo, não há parâmetro livre além de t=0.

Passo 5

Como a única escolha de parâmetro que satisfaz todas as equações é t=0, concluímos que o sistema possui apenas a solução trivial. Equivalentemente, pode-se calcular det M = -55neq0, garantindo inversibilidade e, portanto, núcleo trivial.

Resposta

(0,0,0,0)

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