Considere a matriz
A=[rrr 1 & 1 & -1 -3 & x & x 1 & 0 & -1 ]
Encontre os valores da incógnita x para os quais a matriz A seja invertível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A e queremos descobrir quais valores de x fazem essa matriz ser invertível. Na matemática, uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos precisar calcular o determinante de A e resolver para x onde esse determinante não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A :
A = 1 & 1 & -1 -3 & x & x 1 & 0 & -1
Para achar o determinante de A , vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Aqui, vamos optar pela expansão de cofatores na primeira linha para facilitar.

Passo 3

A fórmula para o determinante de uma matriz 3x3 usando cofatores na primeira linha é:
det(A) = a11 cdot C11 + a12 cdot C12 + a13 cdot C13
onde aij são os elementos da matriz e Cij são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator C11 :
    Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
x & x 0 & -1
O determinante desse submatriz é (x)(-1) - (x)(0) = -x .
Então, C11 = (-1)^1+1 cdot (-x) = -x .
  1. Cofator C12 :
    Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
-3 & x 1 & -1
O determinante desse submatriz é (-3)(-1) - (x)(1) = 3 - x .
Então, C12 = (-1)^1+2 cdot (3 - x) = -(3 - x) = x - 3 .
  1. Cofator C13 :
    Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
-3 & x 1 & 0
O determinante desse submatriz é (-3)(0) - (x)(1) = -x .
Então, C13 = (-1)^1+3 cdot (-x) = -x .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do determinante:
det(A) = (1)(-x) + (1)(x - 3) + (-1)(-x) = -x + x - 3 + x = x - 3

Passo 6

Queremos que a matriz seja invertível, ou seja, que o determinante seja diferente de zero:
x - 3 neq 0 implies x neq 3

Resposta

O valor de x deve ser diferente de 3 para que a matriz A seja invertível.

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