Calcule o determinante da seguinte matriz:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\\\ 4 & 1 & -2\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e queremos \det(A). Como é uma matriz 3\times3, usaremos a regra de Sarrus, que diz
\det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).

Passo 2

Identificamos cada termo da soma positiva:
a_{11}a_{22}a_{33} =1\cdot1\cdot3, \quad a_{12}a_{23}a_{31} =3\cdot(-2)\cdot2, \quad a_{13}a_{21}a_{32} =2\cdot4\cdot1.

Passo 3

Calculamos a soma dos três produtos acima:
1\cdot1\cdot3 + 3\cdot(-2)\cdot2 + 2\cdot4\cdot1 =3 -12 +8 =-1.

Passo 4

Agora os termos da soma negativa:
a_{13}a_{22}a_{31} =2\cdot1\cdot2, \quad a_{11}a_{23}a_{32} =1\cdot(-2)\cdot1, \quad a_{12}a_{21}a_{33} =3\cdot4\cdot3.
E sua soma:
2\cdot1\cdot2 + 1\cdot(-2)\cdot1 + 3\cdot4\cdot3 =4 -2 +36 =38.

Passo 5

Pela regra de Sarrus,
\det(A) =\bigl(\text{soma positiva}\bigr) - \bigl(\text{soma negativa}\bigr) =-1 - 38 =-39.

Resposta

\det(A) = -39

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