Calcule o determinante da seguinte matriz:
\left[\begin{array}{ccc}4 & 3 & 0 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 5 & -1 & -4\end{array}\right]

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix}4 & 3 & 0 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 5 & -1 & -4\end{pmatrix}
Como é uma matriz 3 \times 3, a gente vai usar a regra de Sarrus.

Passo 2

A regra de Sarrus diz que, para
A=\bigl(a_{ij}\bigr)_{3\times3},
temos
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} \;-\;\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).

Passo 3

Vamos calcular primeiro a soma dos produtos das diagonais principais:
S_1 = 4\cdot1\cdot(-4) \;+\; 3\cdot2\cdot5 \;+\; 0\cdot3\cdot(-1) = -16 \;+\; 30 \;+\; 0 = 14.

Passo 4

Agora a soma dos produtos das diagonais secundárias:
S_2 = 0\cdot1\cdot5 \;+\; 4\cdot2\cdot(-1) \;+\; 3\cdot3\cdot(-4) = 0 \;-\; 8 \;-\; 36 = -44.

Passo 5

Segundo a regra de Sarrus,
\det(A)=S_1 - S_2 = 14 - (-44) = 58.

Resposta

58

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