Calcule o determinante da seguinte matriz:
\left[\begin{array}{cccc}2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante de uma matriz 4\times4. O conteúdo aqui é determinante de matrizes e cofactores, e vamos usar a expansão de Laplace ao longo da primeira linha para simplificar o cálculo.

Passo 2

Escrevemos a matriz A e aplicamos a expansão de Laplace na primeira linha:
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}
Como só os elementos a_{11}=2 e a_{14}=1 são não nulos, temos
\det(A) =2\,C_{11}+1\,C_{14},
onde
C_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11}),\quad C_{14}=(-1)^{1+4}\det(M_{14}).

Passo 3

Calculamos \det(M_{11}), com
M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 6 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(M_{11}) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ -2 & 3\end{pmatrix} =1\,(2\cdot3-0\cdot(-2)) =6.
Como (-1)^{2}=+1, temos C_{11}=6.

Passo 4

Calculamos \det(M_{14}), com
M_{14} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 2 \\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(M_{14}) =1\cdot(-1)^{1+2}\det\!\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & -2\end{pmatrix} =-1\,(1\cdot(-2)-2\cdot1) =-1\,(-4) =4.
Como (-1)^{1+4}=(-1)^{5}=-1, fica C_{14}=-1\cdot4=-4.

Passo 5

Substituindo na expansão:
\det(A)=2\cdot C_{11}+1\cdot C_{14} =2\cdot6 +(-4) =12-4 =8.

Resposta

8

Exercícios relacionados