Calcule o determinante da seguinte matriz:
\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & -2 & 1 \\\\ -3 & 2 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1 & 1 \\\\ -1 & 2 & -2 & 1 \\\\ -3 & 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Para resolver, vamos usar operações elementares em linhas e as propriedades de como elas afetam o determinante, junto com expansão por menores.

Passo 2

Primeiro, para evitar frações, multiplicamos as linhas 2, 3 e 4 por 2, o que multiplica o determinante por 2^3=8. Chamemos a nova matriz de B:
B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 6 & 0 & 2 & 2 \\\\ -2 & 4 & -4 & 2 \\\\ -6 & 4 & 6 & 2 \end{pmatrix},
de modo que
\det(B) = 8\,\det(A).

Passo 3

Agora eliminamos as entradas abaixo de b_{11}=2 somando múltiplos da linha 1 às linhas 2, 3 e 4 (essas operações não alteram o determinante). Fazemos:
R_2 \!\to\! R_2 - 3R_1,\quad R_3 \!\to\! R_3 + R_1,\quad R_4 \!\to\! R_4 + 3R_1.
Isso leva a
C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 & -1 \\\\ 0 & 5 & -2 & 3 \\\\ 0 & 7 & 12 & 5 \end{pmatrix},
com \det\text{(C)}=\det(B).

Passo 4

Expandindo \det\text{(C)} pela primeira coluna (somente o elemento c_{11}=2 contribui):
\det\text{(C)} = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} -3 & -4 & -1 \\\\ 5 & -2 & 3 \\\\ 7 & 12 & 5 \end{pmatrix}.
Chamemos esse 3\times 3 de M. Calculamos
\det(M) = -3\det\!\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 12 & 5\end{pmatrix} -(-4)\det\!\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 7 & 5\end{pmatrix} +(-1)\det\!\begin{pmatrix}5 & -2\\\ 7 & 12\end{pmatrix}.
Isso dá
-3\bigl((-2)\cdot5 - 3\cdot12\bigr) +4\bigl(5\cdot5 - 3\cdot7\bigr) -1\bigl(5\cdot12 - (-2)\cdot7\bigr) =138 + 16 - 74 = 80.
Logo \det\text{(C)}=2\cdot80=160.

Passo 5

Voltando ao fator de escala, temos
\det(B)=\det\text{(C)}=160 \quad\Longrightarrow\quad 8\,\det(A)=160 \quad\Longrightarrow\quad \det(A)=\frac{160}{8}=20.

Resposta

O determinante da matriz dada é 20.

Exercícios relacionados