Seja f: R^3 R^3 a seguinte função linear:
f(l x y z )=(c x-2 y+z 2 x-4 y+2 z -x+2 y-z )
Encontre uma base do kernel e uma base da imagem de f. A função f é injetora? É sobrejetora?

Passo 1

O enunciado pede uma base do núcleo e da imagem da aplicação linear f:R^3toR^3 dada por
fl(x,y,zr) = x-2y+z[6pt] 2x-4y+2z[3pt] -,x+2y-z
Como a teoria, vamos usar resolução de sistema homogêneo para ker(f) e análise de colunas para Im(f), além do Teorema da Dimensão (Dim Ker + Dim Im =3).]

Passo 2

Para encontrar
Note que a segunda equação é o dobro da primeira e a terceira é (-1] vez a primeira. Logo só existe uma equação independente:

Passo 3

Da equação x-2y+z=0 isolamos x=2y-z. Tomando parâmetros y=s e z=t, temos
(x,y,z)=(2s-t,;s,;t) =s,(2,1,0)+t,(-1,0,1)
Portanto uma base de ker(f) é
,(2,1,0),;(-1,0,1)

Passo 4

Para a imagem, observamos que para todo (x,y,z)
f(x,y,z)=(x-2y+z),(1,2,-1)
Isto mostra que todos os vetores da imagem são múltiplos de (1,2,-1). Logo
Im(f)=span(1,2,-1),
e uma base é (1,2,-1).

Passo 5

Pela dimensão do núcleo ter valor 2 (maior que zero), f não é injetora. Pela dimensão da imagem ser 1 (menor que 3), f não é sobrejetora.

Resposta

ker(f)=span(2,1,0),(-1,0,1).
Im(f)=span(1,2,-1).
f não é injetora e não é sobrejetora.

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