Calcule o determinante da seguinte matriz usando o método de Laplace e por escalonamento:
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
usando dois métodos: expansão de Laplace e escalonamento com operações elementares. O tópico é determinantes de matrizes.

Passo 2

Para o método de Laplace, escolhemos a primeira linha e aplicamos
\det(A) = 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13},
onde cada cofator C_{1j} = (-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} é o determinante do menor obtido eliminando a linha 1 e a coluna j. Calculamos:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-1)\cdot2 = 3, \quad C_{11} = (+1)\cdot3 = 3.
Como a_{12}=0, o segundo termo cai, e
M_{13} = \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 2 & 2\end{pmatrix} = 1\cdot2 - 1\cdot2 = 0, \quad C_{13} = (+1)\cdot0 = 0.
Logo
\det(A) = 2\cdot3 + 0 + 1\cdot0 = 6.

Passo 3

No método de escalonamento, usamos operações elementares que preservam o determinante (tipo R_i \leftarrow R_i - k\,R_j) para obter uma matriz triangular superior. Partimos de
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & -1 \\\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Fazemos R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac12R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1, resultando em
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac32 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Depois eliminamos o elemento abaixo do pivô 1 na segunda coluna com R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2, obtendo
\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac32 \\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Como só usamos operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k\,R_j, o determinante é o produto dos pivôs:
\det(A) = 2 \cdot 1 \cdot 3 = 6.

Passo 4

Observamos que ambos os métodos fornecem o mesmo resultado para o determinante.

Resposta

\det(A)=6

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