Precisamos encontrar uma base de \ker(f), uma base de \mathrm{Im}(f) e então verificar se f é injetora (isto é, \ker(f)=\{0\}) e sobrejetora (isto é, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}^3). Vamos usar resolução de sistemas lineares para o núcleo e colunas da matriz para a imagem, além do Teorema do Núcleo e Imagem.
Pela fórmula do posto-nulidade, \dim\ker(f)=1 implica \mathrm{rank}(A)=3-1=2, então a imagem é bidimensional. Verificamos que c_1 e c_2 não são múltiplos escalar, logo independentes, e geram o espaço todo junto com c_3. Podemos tomar
\mathrm{Im}(f) = \mathrm{span}\{c_1,c_2\}
e uma base simples é \{(1,0,1),\,(-2,2,0)\}.
Passo 5
Como \ker(f)\neq\{0\}, a aplicação não é injetora. E como \dim\mathrm{Im}(f)=2<3, ela não é sobrejetora em \mathbb{R}^3.
Resposta
Base do kernel: \{(2,1,2)\}
Base da imagem: \{(1,0,1),\,(-2,2,0)\} f não é injetora e não é sobrejetora.