Inverta a seguinte matriz, através da matriz dos cofatores e por duplo escalonamento:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}
e queremos encontrar A^{-1} por dois métodos:
– usando a matriz de cofatores e a adjunta, e
– por escalonamento duplo (Gauss–Jordan) na matriz aumentada [A\mid I].

Passo 2

Cálculo pelo método dos cofatores:
  1. Determinante de A:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ -2 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -2 & -1\end{pmatrix} +0\cdot(*) =1\cdot(2\cdot(-1)-1\cdot(-2)) -1\cdot(1\cdot(-1)-1\cdot(-2)) =0-1=-1.
  1. Matriz dos cofatores C, com C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}):
C=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Adjugada de A:
\operatorname{adj}(A)=C^{T} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Inversa:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =-1\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Cálculo por escalonamento duplo (Gauss–Jordan) na matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ -2 & -2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Aplicamos as seguintes operações:
R_2\leftarrow R_2-R_1, R_3\leftarrow R_3+2R_1:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].
R_1\leftarrow R_1-R_2:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & 1 \end{array}\right].
R_3\leftarrow -\,R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1 \end{array}\right].
– Eliminação na coluna 3: R_1\leftarrow R_1+R_3, R_2\leftarrow R_2-R_3:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & -1 \end{array}\right].
Na parte direita aparece exatamente A^{-1}.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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