Mostre que a matriz A=[lll1 & 0 & 0 a & 1 & 0 b & c & 1] é inversível para quaisquer números reais a, b e c. Determine a matriz inversa de barA.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a matriz
A = 1 & 0 & 0 a & 1 & 0 b & c & 1
é invertível para quaisquer a,b,cinR e encontrar A^-1. O conteúdo envolvido é determinante de matrizes triangulares e o cálculo da matriz inversa por equações lineares.

Passo 2

Como A é triangular inferior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo,
det(A)=1cdot1cdot1=1

Passo 3

Como det(A)=1neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Para achar A^-1, note que a inversa de uma matriz triangular inferior unitária é também triangular inferior unitária. Seja
X = A^-1 = 1 & 0 & 0 x21 & 1 & 0 x31 & x32 & 1
Impondo A,X=I, fazemos a multiplicação
1 & 0 & 0 a & 1 & 0 b & c & 1 1 & 0 & 0 x21 & 1 & 0 x31 & x32 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Da multiplicação nas entradas fora da diagonal principal obtemos
acdot1 + 1cdot x21 = 0 implies x21 = -a,
bcdot1 + ccdot(-a) + 1cdot x31 = 0 implies x31 = ac - b,
bcdot0 + ccdot1 + 1cdot x32 = 0 implies x32 = -c

Resposta

A^-1 = 1 & 0 & 0 -,a & 1 & 0 ac - b & -,c & 1

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