(1,0) Calcule o determinante das seguintes matrizes:
A=[cc7 & 2 -3 & 4] B=[ccc3 & 0 & -5 2 & 1 & 3 0 & -2 & 4] C=[rrrr7 & 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 1 & 4 3 & 4 & 2 & -1 2 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular o determinante de três matrizes diferentes: a matriz A que é 2x2, a matriz B que é 3x3 e a matriz C que é 4x4. Para isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes de diferentes tamanhos. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.
Vamos começar pela matriz A :
A = 7 & 2 -3 & 4
Como A é uma matriz 2x2, a fórmula para calcular o determinante é bem simples:
det(A) = ad - bc
Onde:
  • a = 7
  • b = 2
  • c = -3
  • d = 4

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
det(A) = (7)(4) - (2)(-3) = 28 + 6 = 34

Passo 4

Agora, vamos para a matriz B :
B = 3 & 0 & -5 2 & 1 & 3 0 & -2 & 4
Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos utilizar a regra de Sarrus aqui:
det(B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
B = a & b & c d & e & f g & h & i
Então, identificando os elementos:
  • a = 3
  • b = 0
  • c = -5
  • d = 2
  • e = 1
  • f = 3
  • g = 0
  • h = -2
  • i = 4

Passo 5

Substituindo na fórmula:
det(B) = 3(1 cdot 4 - 3 cdot (-2)) - 0(2 cdot 4 - 3 cdot 0) + (-5)(2 cdot (-2) - 1 cdot 0)
Calculando cada parte:
= 3(4 + 6) - 0(8 - 0) + (-5)(-4 - 0)
= 3(10) - 0(8) + (-5)(-4)
= 30 - 0 + 20
= 50

Passo 6

Por último, vamos calcular o determinante da matriz C :
C = 7 & 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 1 & 4 3 & 4 & 2 & -1 2 & 0 & 0 & 0
Para uma matriz 4x4, usamos a expansão por cofatores. Vamos expandir pela primeira linha para facilitar:
det(C) = a11 cdot det(M11) - a12 cdot det(M12) + a13 cdot det(M13) - a14 cdot det(M14)
Onde Mij é a matriz que sobra quando removemos a linha i e a coluna j .
Identificando os elementos da primeira linha:
  • a11 = 7
  • a12 = 1
  • a13 = 0
  • a14 = 3

Passo 7

Vamos calcular cada determinante dos menores:
  1. Para M11 :
M11 = 2 & 1 & 4 4 & 2 & -1 0 & 0 & 0
Observamos que a terceira linha é toda zeros, então det(M11) = 0 .
  1. Para M12 :
M12 = -1 & 1 & 4 3 & 2 & -1 2 & 0 & 0
Calculando o determinante de M12 :
det(M12) = -1(2 cdot 0 - (-1) cdot 0) - 1(3 cdot 0 - (-1) cdot 2) + 4(3 cdot 0 - 2 cdot 2)
= -1(0 - 0) - 1(0 + 2) + 4(0 - 4)
= 0 - 2 - 16
= -18
  1. Para M13 :
M13 = -1 & 2 & 4 3 & 4 & -1 2 & 0 & 0
Calculando o determinante de M13 :
det(M13) = -1(4 cdot 0 - (-1) cdot 0) - 2(3 cdot 0 - (-1) cdot 2) + 4(3 cdot 0 - 4 cdot 2)
= -1(0 - 0) - 2(0 + 2) + 4(0 - 8)
= 0 - 4 - 32
= -36
  1. Para M14 :
M14 = -1 & 2 & 1 3 & 4 & 2 2 & 0 & 0
Calculando o determinante de M14 :
det(M14) = -1(4 cdot 0 - 2 cdot 0) - 2(3 cdot 0 - 2 cdot 2) + 1(3 cdot 0 - 4 cdot 2)
= -1(0 - 0) - 2(0 - 4) + 1(0 - 8)
= 0 + 8 - 8
= 0

Passo 8

Agora, substituindo os valores na fórmula do determinante de C :
det(C) = 7 cdot 0 - 1 cdot (-18) + 0 cdot (-36) - 3 cdot 0
= 0 + 18 + 0 - 0
= 18

Resposta

Os determinantes das matrizes são:
det(A) = 34
det(B) = 50
det(C) = 18

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