Faça o que se pede:
O resultado obtido no item a) pode ser generalizado? Ou seja, o determinante de uma matriz 4 times 4 que possui duas colunas iguais é sempre zero? Se for, demonstre. Caso contrário dê um contraexemplo

Passo 1

O enunciado pergunta se vale, para matrizes 4times4, o mesmo que vimos no item (a): “se uma matriz tem duas colunas iguais, seu determinante é zero”. O conteúdo aqui é a propriedade de alternância do determinante, que diz como ele muda de sinal ao trocar duas colunas.

Passo 2

Lembramos a propriedade fundamental do determinante em relação à troca de colunas: se A é uma matriz quadrada e A' resulta de A trocando as colunas i e j, então
det(A') = -,det(A)

Passo 3

Agora, suponha que A seja uma matriz 4times4 que possui duas colunas iguais, digamos a coluna i e a coluna j idênticas. Se trocarmos essas colunas em A, obtemos exatamente a mesma matriz, pois elas são iguais. Chamando de A' essa matriz após a troca, temos A'=A. Pelo passo anterior:
det(A') = -,det(A)
Mas como A'=A, isso implica
det(A) = -,det(A) Longrightarrow 2,det(A)=0 Longrightarrow det(A)=0

Resposta

Sim. Qualquer matriz 4times4 (e, na verdade, de qualquer ordem) que tenha duas colunas iguais tem determinante igual a zero.

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