Faça o que se pede:
O resultado obtido no item a) pode ser generalizado? Ou seja, o determinante de uma matriz
que possui duas colunas iguais é sempre zero? Se for, demonstre. Caso contrário dê um contraexemplo
O resultado obtido no item a) pode ser generalizado? Ou seja, o determinante de uma matriz
Passo 1
O enunciado pergunta se vale, para matrizes
, o mesmo que vimos no item (a): “se uma matriz tem duas colunas iguais, seu determinante é zero”. O conteúdo aqui é a propriedade de alternância do determinante, que diz como ele muda de sinal ao trocar duas colunas.
Passo 2
Lembramos a propriedade fundamental do determinante em relação à troca de colunas: se
é uma matriz quadrada e
resulta de
trocando as colunas
e
, então
Passo 3
Agora, suponha que
seja uma matriz
que possui duas colunas iguais, digamos a coluna
e a coluna
idênticas. Se trocarmos essas colunas em
, obtemos exatamente a mesma matriz, pois elas são iguais. Chamando de
essa matriz após a troca, temos
. Pelo passo anterior:
Mas como
, isso implica
Resposta
Sim. Qualquer matriz
(e, na verdade, de qualquer ordem) que tenha duas colunas iguais tem determinante igual a zero.