Numa construção foram utilizados, entre outros itens, areia, cimento e cal. Nessa obra tinha uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 Kg . Assim, foram observadas as seguintes marcas:
  • Areia e Cal pesam juntos 87 kg ;
  • Areia e Cimento pesam 123 kg;
  • Cimento e Cal pesam 66 kg .
Calcule o peso de Areia, Cimento e Cal utilizados na obra.
(Obs.: monte o sistema e resolva utilizando a regra de Cramer)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma construção onde foram usados areia, cimento e cal. Temos uma balança que só consegue medir corretamente pesos acima de 60 kg, e observamos três combinações de pesos:
  • Areia + Cal = 87 kg
  • Areia + Cimento = 123 kg
  • Cimento + Cal = 66 kg
A gente precisa descobrir quanto pesa cada um: Areia, Cimento e Cal. Para isso, vamos usar um método chamado Regra de Cramer, que é uma técnica pra resolver sistemas de equações lineares usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • A = peso da Areia
  • C = peso do Cimento
  • L = peso da Cal
Com base nas informações do problema, podemos montar o seguinte sistema de equações:
A + L = 87 A + C = 123 C + L = 66

Passo 3

Agora, precisamos organizar essas equações de forma que possamos aplicar a Regra de Cramer. Vamos reescrever o sistema:
1A + 0C + 1L = 87 1A + 1C + 0L = 123 0A + 1C + 1L = 66
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes de cada variável.

Passo 4

Vamos montar a matriz dos coeficientes D :
D = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante D :
D = 1 times (1 times 1 - 0 times 1) - 0 times (1 times 1 - 0 times 0) + 1 times (1 times 1 - 1 times 0) = 1 times 1 - 0 + 1 times 1 = 1 + 1 = 2
Então, D = 2 .

Passo 6

Agora, vamos criar as matrizes DA , DC e DL substituindo as colunas correspondentes pelos resultados das equações.
Para DA (substituindo a coluna de ( A \ )):
DA = 87 & 0 & 1 123 & 1 & 0 66 & 1 & 1
)

Passo 7

Calculando o determinante DA :
DA = 87 times (1 times 1 - 0 times 1) - 0 times (123 times 1 - 0 times 66) + 1 times (123 times 1 - 1 times 66) = 87 times 1 - 0 + 1 times (123 - 66) = 87 + 57 = 144
Então, DA = 144 .

Passo 8

Para DC (substituindo a coluna de ( C \ )):
DC = 1 & 87 & 1 1 & 123 & 0 0 & 66 & 1
)

Passo 9

Calculando o determinante DC :
DC = 1 times (123 times 1 - 0 times 66) - 87 times (1 times 1 - 0 times 0) + 1 times (1 times 66 - 123 times 0) = 1 times 123 - 87 times 1 + 1 times 66 = 123 - 87 + 66 = 102
Então, DC = 102 .

Passo 10

Para DL (substituindo a coluna de ( L \ )):
DL = 1 & 0 & 87 1 & 1 & 123 0 & 1 & 66
)

Passo 11

Calculando o determinante DL :
DL = 1 times (1 times 66 - 123 times 1) - 0 times (1 times 66 - 123 times 0) + 87 times (1 times 1 - 1 times 0) = 1 times (66 - 123) - 0 + 87 times 1 = -57 + 87 = 30
Então, DL = 30 .

Passo 12

Agora, usando a Regra de Cramer, calculamos cada variável dividindo os determinantes correspondentes pelo determinante da matriz principal D :
A = DAD = 1442 = 72 kg
C = DCD = 1022 = 51 kg
L = DLD = 302 = 15 kg

Resposta

Os pesos utilizados na obra foram:
  • Areia: 72 kg
  • Cimento: 51 kg
  • Cal: 15 kg

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