Numa construção foram utilizados, entre outros itens, areia, cimento e cal. Nessa obra tinha uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 Kg . Assim, foram observadas as seguintes marcas:
Areia e Cal pesam juntos 87 kg ;
Areia e Cimento pesam 123 kg;
Cimento e Cal pesam 66 kg .
Calcule o peso de Areia, Cimento e Cal utilizados na obra.
(Obs.: monte o sistema e resolva utilizando a regra de Cramer)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma construção onde foram usados areia, cimento e cal. Temos uma balança que só consegue medir corretamente pesos acima de 60 kg, e observamos três combinações de pesos:
Areia + Cal = 87 kg
Areia + Cimento = 123 kg
Cimento + Cal = 66 kg
A gente precisa descobrir quanto pesa cada um: Areia, Cimento e Cal. Para isso, vamos usar um método chamado Regra de Cramer, que é uma técnica pra resolver sistemas de equações lineares usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
= peso da Areia
= peso do Cimento
= peso da Cal
Com base nas informações do problema, podemos montar o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, precisamos organizar essas equações de forma que possamos aplicar a Regra de Cramer. Vamos reescrever o sistema:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes de cada variável.
Passo 4
Vamos montar a matriz dos coeficientes D :
D = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
Calculando o determinante D :
D = 1 times (1 times 1 - 0 times 1) - 0 times (1 times 1 - 0 times 0) + 1 times (1 times 1 - 1 times 0) = 1 times 1 - 0 + 1 times 1 = 1 + 1 = 2
Então, D = 2 .
Passo 6
Agora, vamos criar as matrizes DA , DC e DL substituindo as colunas correspondentes pelos resultados das equações.
Para DA (substituindo a coluna de ( A \ )):
DA = 87 & 0 & 1 123 & 1 & 0 66 & 1 & 1
)
Passo 7
Calculando o determinante DA :
DA = 87 times (1 times 1 - 0 times 1) - 0 times (123 times 1 - 0 times 66) + 1 times (123 times 1 - 1 times 66) = 87 times 1 - 0 + 1 times (123 - 66) = 87 + 57 = 144
Então, DA = 144 .
Passo 8
Para DC (substituindo a coluna de ( C \ )):
DC = 1 & 87 & 1 1 & 123 & 0 0 & 66 & 1
)
Passo 9
Calculando o determinante DC :
DC = 1 times (123 times 1 - 0 times 66) - 87 times (1 times 1 - 0 times 0) + 1 times (1 times 66 - 123 times 0) = 1 times 123 - 87 times 1 + 1 times 66 = 123 - 87 + 66 = 102
Então, DC = 102 .
Passo 10
Para DL (substituindo a coluna de ( L \ )):
DL = 1 & 0 & 87 1 & 1 & 123 0 & 1 & 66
)
Passo 11
Calculando o determinante DL :
DL = 1 times (1 times 66 - 123 times 1) - 0 times (1 times 66 - 123 times 0) + 87 times (1 times 1 - 1 times 0) = 1 times (66 - 123) - 0 + 87 times 1 = -57 + 87 = 30
Então, DL = 30 .
Passo 12
Agora, usando a Regra de Cramer, calculamos cada variável dividindo os determinantes correspondentes pelo determinante da matriz principal D :