O enunciado dá a matriz 2×2 cujos elementos dependem de um ângulo \theta e pede para mostrar que o determinante dessa matriz é independente de \theta. A matriz fornecida é:
Os elementos da matriz são \operatorname{sen}\theta, \cos\theta, -\cos\theta e \operatorname{sen}\theta.]
Passo 2
Lembrete / mini-aula sobre determinante de matriz 2\times2.
Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os quatro elementos da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b é da primeira linha e segunda coluna, c é da segunda linha e primeira coluna e d é da segunda linha e segunda coluna. Essa fórmula é básica e frequentemente usada em provas: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.]
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado: identifique os termos
Mini-aula sobre a identidade pitagórica e por que ela vale.
A identidade fundamental da trigonometria é
\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1
para todo \theta. Uma forma intuitiva de ver isso é lembrar do círculo unitário: um ponto na circunferência unitária tem coordenadas (\cos\theta,\operatorname{sen}\theta), e a distância desse ponto à origem é 1. Pelo teorema de Pitágoras, (\cos\theta)^2+(\operatorname{sen}\theta)^2=1^2. Portanto a soma \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta é sempre a mesma, independentemente de \theta.
Passo 5
Conclusão do raciocínio: a expressão obtida para o determinante é
\det = \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta,
e pela identidade pitagórica essa soma é uma constante (não depende de \theta). Logo o determinante é independente de \theta.
Observação extra (opcional, para intuição): as colunas da matriz são vetores (\operatorname{sen}\theta,-\cos\theta) e (\cos\theta,\operatorname{sen}\theta). Esses vetores têm norma \sqrt{\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta} e produto escalar zero, ou seja, formam uma base ortonormal do plano; matrizes cujas colunas formam uma base ortonormal têm determinante de módulo 1, aqui com orientação positiva, portanto o determinante é constante.