Mostre que o determinante da matriz a seguir é independente do ângulo \theta
\left[\begin{array}{cc} \operatorname{sen} \theta & \cos \theta \\\\ -\cos \theta & \operatorname{sen} \theta \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz 2×2 cujos elementos dependem de um ângulo \theta e pede para mostrar que o determinante dessa matriz é independente de \theta. A matriz fornecida é:
\begin{pmatrix} \operatorname{sen}\theta & \cos\theta\\[4pt] -\cos\theta & \operatorname{sen}\theta \end{pmatrix}
As perguntas implícitas são:
  • Calcular o determinante dessa matriz.
  • Mostrar que o valor obtido não depende de \theta.
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos da matriz são \operatorname{sen}\theta, \cos\theta, -\cos\theta e \operatorname{sen}\theta.]

Passo 2

Lembrete / mini-aula sobre determinante de matriz 2\times2.
Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os quatro elementos da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b é da primeira linha e segunda coluna, c é da segunda linha e primeira coluna e d é da segunda linha e segunda coluna. Essa fórmula é básica e frequentemente usada em provas: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado: identifique os termos
a=\operatorname{sen}\theta,\qquad b=\cos\theta,\qquad c=-\cos\theta,\qquad d=\operatorname{sen}\theta.
Substituindo em \det = ad - bc obtemos
\det = (\operatorname{sen}\theta)\,(\operatorname{sen}\theta) - (\cos\theta)\,(-\cos\theta).
Agora simplifica termo a termo:
\det = \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta.

Passo 4

Mini-aula sobre a identidade pitagórica e por que ela vale.
A identidade fundamental da trigonometria é
\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1
para todo \theta. Uma forma intuitiva de ver isso é lembrar do círculo unitário: um ponto na circunferência unitária tem coordenadas (\cos\theta,\operatorname{sen}\theta), e a distância desse ponto à origem é 1. Pelo teorema de Pitágoras, (\cos\theta)^2+(\operatorname{sen}\theta)^2=1^2. Portanto a soma \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta é sempre a mesma, independentemente de \theta.

Passo 5

Conclusão do raciocínio: a expressão obtida para o determinante é
\det = \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta,
e pela identidade pitagórica essa soma é uma constante (não depende de \theta). Logo o determinante é independente de \theta.
Observação extra (opcional, para intuição): as colunas da matriz são vetores (\operatorname{sen}\theta,-\cos\theta) e (\cos\theta,\operatorname{sen}\theta). Esses vetores têm norma \sqrt{\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta} e produto escalar zero, ou seja, formam uma base ortonormal do plano; matrizes cujas colunas formam uma base ortonormal têm determinante de módulo 1, aqui com orientação positiva, portanto o determinante é constante.

Resposta

1

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