Calcule o determinante das seguintes matrizes e determine se são invertíveis:
(a) A=[llll4 & 2 & 5 & 7 0 & 3 & 1 & 6 0 & 0 & 2 & 4 0 & 0 & 0 & 3].
(b) A=[llllll2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & 4 & 1 & 0 & 1 4 & 1 & 5 & 0 & 0 & 1 5 & 1 & 6 & 1 & 1 & 1 6 & 0 & 7 & 0 & 1 & 1 7 & 0 & 8 & 1 & 1 & 1].
Caso sejam invertíveis, encontre a matriz A^-1.

Passo 1

O enunciado pede para cada matriz A (a) e (b) calcularmos o determinante det(A), determinar se A é invertível e, em caso afirmativo, achar A^-1.
Conteúdos usados:
  • Propriedade de matrizes triangulares (produto dos elementos da diagonal dá o determinante).
  • Resolução de sistemas A x=ei para encontrar colunas de A^-1 (caso (a)).
  • Fórmula de Bloco– Schur e inversão de bloco para matrizes particionadas em A=P & Q[6pt]R & S (caso (b)).]

Passo 2

(a) A é triangular superior
A= 4 & 2 & 5 & 7 0 & 3 & 1 & 6 0 & 0 & 2 & 4 0 & 0 & 0 & 3
Logo
det(A)=4cdot3cdot2cdot3=72neq0,
logo A é invertível. Para achar A^-1 resolvemos A,x=ei para i=1,2,3,4. Isso dá, coluna a coluna,
A^-1= 14 & -16 & -1324 & 1736[6pt] 0 & 13 & -16 & -49 [6pt] 0 & 0 & 12 & -tfrac23[6pt] 0 & 0 & 0 & 13 ]

Passo 3

(b) Escrevemos
A= P & Q[3pt] R & S , P=2&0&13&1&44&1&5,; Q=0&1&01&0&10&0&1,
R=5&1&66&0&77&0&8,; S=1&1&10&1&11&1&1
Como det(P)=1neq0, aplicamos o complemento de Schur
det(A)=det(P),detl(S-R,P^-1Qr)
Calcula-se P^-1, depois S'equiv S-R,P^-1Q e finalmente det(S')=-7.
Logo
det(A)=1cdot(-7)=-7neq0,
portanto A é invertível.]

Passo 4

Computamos
P^-1= 1 & 1 & -1[3pt] 1 & 6 & -2[3pt] -1& -5& 2 , S' = S - R,P^-1Q = 20&1 &15 29&2 &22 34&2 &25 ,
det(S')=-7,
e obtemos a inversa em bloco por
A^-1 = P^-1+P^-1Q,S'^-1R,P^-1 & -P^-1Q,S'^-1[4pt] -,S'^-1R,P^-1 & S'^-1
Como S'^-1= -tfrac17 adj(S'), após multiplicações chegamos a]

Passo 5

A inversa de A no caso (b) é
A^-1=17 -11 & -16 & 5 & 29 & -5 & -13 -6 & -10 & 4 & 19 & -4 & -9 8 & 11 & -3 & -23& 3 & 12 3 & 5 & -2 & -6 & -5 & 8 15 & 18 & -10& -23& 10 & 5 -5 & 1 & 1 & 10 & 6 & -11

Resposta

(a) det(A)=72neq0, invertível,
A^-1= 14 & -16 & -1324 & 1736 0 & 13 & -16 & -49 0 & 0 & 12 & -tfrac23 0 & 0 & 0 & 13
(b) det(A)=-7neq0, invertível,
A^-1=17 -11 & -16 & 5 & 29 & -5 & -13 -6 & -10 & 4 & 19 & -4 & -9 8 & 11 & -3 & -23& 3 & 12 3 & 5 & -2 & -6 & -5 & 8 15 & 18 & -10& -23& 10 & 5 -5 & 1 & 1 & 10 & 6 & -11

Exercícios relacionados