Calcule o determinante das seguintes matrizes (faça operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo):
(a) [cccc2 & 5 & -3 & -2 -2 & -3 & 2 & -5 1 & 3 & -2 & 2 -1 & -6 & 4 & 3]

Passo 1

Resumindo: queremos calcular o determinante da matriz
A = 2 & 5 & -3 & -2 -2 & -3 & 2 & -5 1 & 3 & -2 & 2 -1 & -6 & 4 & 3
O conteúdo aqui é determinantes de matriz de ordem 4 e vamos usar operações elementares em linhas, lembrando que:
  1. Adicionar múltiplos de uma linha a outra não altera o determinante.
  2. Multiplicar uma linha por uma constante k multiplica o determinante por k.

Passo 2

Vamos zerar as entradas abaixo de a11=2 por estas operações:
L2 L1 + L2, L3 2,L3 - L1 e L4 2,L4 + L1.
As duas últimas escalam linhas por 2 (cada uma multiplica o determinante por 2), enquanto a primeira não altera o determinante. Logo, se A' é a matriz resultante,
det(A') = 4,det(A)
A matriz A' passa a ser
A' = 2 & 5 & -3 & -2 0 & 2 & -1 & -7 0 & 1 & -1 & 6 0 & -7 & 5 & 4

Passo 3

Agora expandimos det(A') pela primeira coluna. Só o elemento a'11=2 contribui, pois os demais na coluna são zero. Assim,
det(A') =2 cdot det 2 & -1 & -7 1 & -1 & 6 -7 & 5 & 4
Chame essa submatriz de N. Então
det(A') = 2,det(N)

Passo 4

Calculamos det(N) por expansão:
N = 2 & -1 & -7 1 & -1 & 6 -7 & 5 & 4 ,
det(N) =2l((-1)cdot4 - 6cdot5r) -(-1)l(1cdot4 - 6cdot(-7)r) +(-7)l(1cdot5 - (-1)cdot(-7)r)
Isso dá
2(-4 - 30) + 1(4 + 42) -7(5 -7) =2(-34) + 46 -7(-2) =-68 + 46 +14 =-8

Passo 5

Voltando:
det(A') = 2cdot(-8) = -16, det(A) = det(A')4 = -164 = -4

Resposta

det(A) = -4.

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