Considere o espaço vetorial
das funções contínuas
. Mostre que as seguintes funções de
são L.I.:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
são linearmente independentes em
.
Para isso vamos usar a definição: são L.I. se, sempre que
Para isso vamos usar a definição:
então
e
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Isso significa que a combinação linear acima é a função zero.
Passo 3
Escolhemos
. Então
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Com
, a equação original vira
Como não é verdade que
seja sempre zero, a única solução é
.
Resposta
As únicas soluções para
são
e
. Portanto
e
são linearmente independentes em
.