Considere o espaço vetorial C(R ; R) das funções contínuas f: R R. Mostre que as seguintes funções de C(R ; R) são L.I.:
(b) sin t, sin 2 t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções
f1(t)=sin t, f2(t)=sin 2t
são linearmente independentes em C(R;R).
Para isso vamos usar a definição: f1,f2 são L.I. se, sempre que
alpha,f1(t)+beta,f2(t)=0 para todo tinR,
então alpha=0 e beta=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,betainR tais que
alphasin t + betasin 2t = 0 para todo tinR
Isso significa que a combinação linear acima é a função zero.

Passo 3

Escolhemos t=pi/2. Então
sinl(tfracpi2r)=1, sinl(2cdottfracpi2r)=sinpi=0
Substituindo em alphasin t+betasin2t=0 obtemos
alphacdot1 + betacdot0 = 0 Longrightarrow alpha = 0

Passo 4

Com alpha=0, a equação original vira
0cdotsin t + betasin2t = 0 Longrightarrow betasin2t = 0 para todo t
Como não é verdade que sin2t seja sempre zero, a única solução é
beta=0.

Resposta

As únicas soluções para alphasin t+betasin2t=0 são alpha=0 e beta=0. Portanto sin t e sin2t são linearmente independentes em C(R;R).

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