Calcule o determinante das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{ll} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 3 & 7 \\ 2 & 4 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de quatro matrizes 2×2. As matrizes fornecidas são (estou copiando os números do enunciado):
A=\begin{pmatrix}3 & 7 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3 & 7 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 7\end{pmatrix}.
O que se pede: calcular \det(A), \det(B), \det\text{(C)} e \det(D).]

Passo 2

Fórmula que vamos usar (para matrizes 2\times2). Seja uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
O determinante de M é dado por
\det(M)=ad-bc.
Explicando cada símbolo de forma simples:
  • a,b,c,d são os elementos da matriz conforme a posição mostrada;
  • ad significa multiplicar a por d;
  • bc significa multiplicar b por c;
  • em seguida subtrai-se bc de ad para obter o determinante.
Breve intuição (sem formalidade): o determinante mede, entre outras coisas, quanto a transformação linear associada à matriz “escala” áreas (o sinal indica orientação). Para 2×2 a conta é essa simples diferença de produtos.]

Passo 3

Calcular \det(A). Para
A=\begin{pmatrix}3 & 7 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
temos a=3, b=7, c=1, d=2. Aplicando a fórmula:
ad=3\cdot 2=6,
bc=7\cdot 1=7,
\det(A)=ad-bc=6-7=-1.
Portanto \det(A)=-1.]

Passo 4

Calcular \det(B). Para
B=\begin{pmatrix}3 & 7 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
temos a=3, b=7, c=2, d=4. Aplicando:
ad=3\cdot 4=12,
bc=7\cdot 2=14,
\det(B)=ad-bc=12-14=-2.
Portanto \det(B)=-2.]

Passo 5

Calcular \det\text{(C)}. Para
C=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
temos a=1, b=3, c=1, d=2. Aplicando:
ad=1\cdot 2=2,
bc=3\cdot 1=3,
\det\text{(C)}=ad-bc=2-3=-1.
Portanto \det\text{(C)}=-1.]

Passo 6

Calcular \det(D). Para
D=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 7\end{pmatrix}
temos a=1, b=2, c=3, d=7. Aplicando:
ad=1\cdot 7=7,
bc=2\cdot 3=6,
\det(D)=ad-bc=7-6=1.
Portanto \det(D)=1.]

Passo 7

Comentário útil para prova (rápido e prático): se o determinante de uma matriz 2\times2 for diferente de \;0\; então a matriz é invertível (tem inversa). Aqui \det(A)=-1, \det(B)=-2, \det\text{(C)}=-1, \det(D)=1 são todos não nulos, então todas essas matrizes são invertíveis. Força aí — esses cálculos são rápidos e valem muitos pontos!

Resposta

\det(A)=-1
\det(B)=-2
\det\text{(C)}=-1
\det(D)=1

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