Calcule o determinante das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante de quatro matrizes 2×2. As matrizes fornecidas são (estou copiando os números do enunciado):
O que se pede: calcular
,
,
e
.]
Passo 2
Fórmula que vamos usar (para matrizes
). Seja uma matriz genérica
O determinante de
é dado por
Explicando cada símbolo de forma simples:
-
são os elementos da matriz conforme a posição mostrada; -
significa multiplicar por ; -
significa multiplicar por ; - em seguida subtrai-se
de para obter o determinante.
Breve intuição (sem formalidade): o determinante mede, entre outras coisas, quanto a transformação linear associada à matriz “escala” áreas (o sinal indica orientação). Para 2×2 a conta é essa simples diferença de produtos.]
Passo 3
Calcular
. Para
temos
,
,
,
. Aplicando a fórmula:
Portanto
.]
Passo 4
Calcular
. Para
temos
,
,
,
. Aplicando:
Portanto
.]
Passo 5
Calcular
. Para
temos
,
,
,
. Aplicando:
Portanto
.]
Passo 6
Calcular
. Para
temos
,
,
,
. Aplicando:
Portanto
.]
Passo 7
Comentário útil para prova (rápido e prático): se o determinante de uma matriz
for diferente de
então a matriz é invertível (tem inversa). Aqui
,
,
,
são todos não nulos, então todas essas matrizes são invertíveis. Força aí — esses cálculos são rápidos e valem muitos pontos!