Calcule o determinante de A=(ccc2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7) usando a formula que fixa a segunda coluna (por que usar esta coluna?) Dica: Lembre, se A=(ai j)n times n, então fixada uma linha qualquer i temos que det A=sumj=1^n(-1)^i+j ai j det Ai j e se fixada uma coluna j qualquer temos que det A=sumi=1^n(-1)^i+j ai j det Ai j, em que Ai j é a matriz obtida de A omitindo a i= ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A= 2 & 0 & -1 3 & 0 & 2 4 & -3 & 7
por meio da expansão de Laplace segundo a segunda coluna. O conteúdo aqui é a fórmula de expansão por cofatores e vamos precisar identificar por que essa coluna simplifica o cálculo e, em seguida, aplicar a fórmula.

Passo 2

Note que a segunda coluna de A é (0,0,-3)^T, ou seja, possui dois zeros. Ao expandir o determinante segundo essa coluna, apenas o termo correspondente ao único elemento não nulo (que é -3) aparecerá, tornando o cálculo muito mais rápido.

Passo 3

A fórmula de expansão pelo elemento ai2 é
det A ;=;sumi=1^3(-1)^,i+2,ai2,det Ai2
Como a12=0 e a22=0, só restará o termo i=3:
det A = (-1)^3+2,a32,det A32

Passo 4

O elemento a32 é -3. A matriz A32 obtida suprimindo a 3.ª linha e a 2.ª coluna de A é
A32 = 2 & -13 & 2
O determinante dessa matriz 2times2 é
det A32 = 2cdot2 - 3cdot(-1) = 4 + 3 = 7

Passo 5

Agora substituímos no único termo da expansão:
det A = (-1)^5times(-3)times7 = (-1)times(-3)times7 = 21

Resposta

O determinante de A é 21.

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