Decida se a matriz A=(cccc4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1) é invertível. Se for, exiba a sua inversa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1. Vamos usar o método de Gauss–Jordan, construindo a matriz aumentada (Amid I) e reduzindo o bloco esquerdo a I.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial
(cccc|cccc 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Pivot em a11=4: dividimos a primeira linha por 4 e eliminamos as entradas abaixo na coluna 1.
Após
R114R1, R2 R2-3R1,; R3 R3-2R1,; R4 R4
obtém-se
(cccc|cccc 1 & -tfrac14 & tfrac12 & -tfrac12 & tfrac14 & 0 & 0 & 0 0 & -tfrac14& -tfrac32 & tfrac32 & -tfrac34& 1 & 0 & 0 0 & tfrac72 & 0 & 1 & -tfrac12& 0 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 )

Passo 4

Pivot em a22=-tfrac14: multiplicamos R2 por -4 para tornar o pivô igual a 1 e eliminamos as outras entradas da coluna 2:
R2 -4,R2, R1 R1+tfrac14R2,; R3 R3-tfrac72R2,; R4 R4-7R2
Fica
(cccc|cccc 1 & 0 & 2 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 6 & -6 & 3 & -4 & 0 & 0 0 & 0 & -21& 22 & -11 & 14 & 1 & 0 0 & 0 & -41& 43 & -21 & 28 & 0 & 1 )

Passo 5

Pivot em a33=-21: dividimos R3 por -21 e eliminamos as outras entradas da coluna 3:
R31-21R3, R1 R1-2R3,; R2 R2-6R3,; R4 R4+41R3
Obtemos
(cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac221 & -tfrac121 & tfrac13 & tfrac221 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac27 & -tfrac17 & 0 & tfrac27 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac2221& tfrac1121 & -tfrac23& -tfrac121& 0 0 & 0 & 0 & tfrac121 & tfrac1021 & tfrac23 & -tfrac4121& 1 )

Passo 6

Pivot em a44=tfrac121: multiplicamos R4 por 21 (para pivô 1) e eliminamos as outras entradas na coluna 4:
R4 21,R4, Ri Ri - (entrada de Ri em col 4),R4,;i=1,2,3
Isso reduz o bloco esquerdo a I4 e dá a matriz inversa no bloco direito.

Resposta

A matriz A é invertível e
A^-1 = -1 & -1 & 4 & -2 -3 & -4 & 12 & -6 11 & 14 & -43 & 22 10 & 14 & -41 & 21

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