Resolva os itens abaixo:
b) Resolva o sistema
l 2 x-3 y=0 x-y+z+2 w=0 3 x+2 y+2 z+w=0 x+y-3 z-w=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo
2x-3y=0, x-y+z+2w=0, 3x+2y+2z+w=0, x+y-3z-w=0
O conteúdo envolvido é método de eliminação de Gauss para encontrar a solução geral de um sistema homogêneo. Vamos montar a matriz aumentada, reduzir por linhas até a forma escada e identificar as variáveis livres ou pivôs.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid0r]:
[cccc|c 2 & -3 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 2 & 0 3 & 2 & 2 & 1 & 0 1 & 1 & -3 & -1 & 0 ]
Aqui cada linha corresponde a uma equação, as primeiras quatro colunas são os coeficientes de x,y,z,w e a última coluna é o vetor nulo do sistema homogêneo.

Passo 3

Aplicamos operações de linha para chegar à forma escada:
  1. Usamos L1 com pivot 2 em (1,1): L2 L2 - tfrac12L1, L3 L3 - tfrac32L1, L4 L4 - tfrac12L1
  2. Em seguida, pivot em (2,2) vale 0,5. Eliminamos abaixo e obtemos zeros em (3,2) e (4,2).
  3. O terceiro pivot em (3,3) surge como -11. Normalizamos essa linha e eliminamos o termo em (4,3).
  4. Por fim, o quarto pivot em (4,4) é não nulo l(79/11r).
Depois dessas operações, obtemos uma matriz diagonal (todos os pivôs não nulos) e o lado direito segue zero.

Passo 4

Como todos os quatro pivôs são não nulos, não há variáveis livres. Isso significa que o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial. De forma equivalente, o posto da matriz de coeficientes é 4 (igual ao número de incógnitas), logo a única solução é x=y=z=w=0.

Resposta

A única solução é
(x,y,z,w) = (0,0,0,0)

Exercícios relacionados