Calcule o determinante de A=[ccc2 & 3 & -4 0 & -4 & 2 1 & -1 & 5]3 times 3, usando a 1^ a linha e, de outra maneira, usando a 1^ a coluna. Depois, use P6 e o resultado de LAPLACE e rapidamente encontre o determinante da matriz B=[llll2 & 0 & 3 & 0 3 & 0 & 0 & 1 0 & 2 & 3 & 0 2 & 0 & 1 & 4]4 times 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = 2 & 3 & -4 [6pt] 0 & -4 & 2 [6pt] 1 & -1 & 5
de duas maneiras: expansão de Laplace pela primeira linha e pela primeira coluna. Em seguida, usando a propriedade de que uma coluna com um único elemento não nulo ( P6) e Laplace, calcular o determinante da matriz
B = 2 & 0 & 3 & 0 [4pt] 3 & 0 & 0 & 1 [4pt] 0 & 2 & 3 & 0 [4pt] 2 & 0 & 1 & 4 ]

Passo 2

Expansão de Laplace de det(A) pela primeira linha:
det(A) = 2 det-4 & 2 -1 & 5 - 3 det0 & 2 1 & 5 + (-4)det0 & -4 1 & -1
Calculemos os menores:
det-4 & 2 -1 & 5 =(-4)cdot5 - 2cdot(-1) = -20 + 2 = -18,
det0 & 2 1 & 5 =0cdot5 - 2cdot1 = -2,
det0 & -4 1 & -1 =0cdot(-1) - (-4)cdot1 = 4
Então
det(A) = 2cdot(-18) - 3cdot(-2) -4cdot4 = -36 +6 -16 = -46

Passo 3

Expansão de Laplace de det(A) pela primeira coluna:
det(A) = 2det-4 & 2 -1 & 5 +0cdot(cdots) +1det3 & -4 -4 & 2
Já temos detl(-4&2-1&5r)=-18. Agora
det3 & -4 -4 & 2 =3cdot2 - (-4)cdot(-4) = 6 - 16 = -10
Logo
det(A) = 2cdot(-18) + 1cdot(-10) = -36 -10 = -46,
confirmando o resultado.

Passo 4

Na matriz B, a segunda coluna tem só um elemento não nulo: b3,2=2. Pela propriedade P6 e Laplace,
det(B) = (-1)^3+2,2;det(M),
onde M é o menor obtido tirando a linha 3 e a coluna 2 de B:
M = 2 & 3 & 0 [4pt] 3 & 0 & 1 [4pt] 2 & 1 & 4
Calculamos
det(M) = 2det0 & 11 & 4 -3det3 & 12 & 4 +0cdot(cdots) =2(0cdot4-1cdot1)-3(3cdot4-1cdot2) =2(-1)-3(10)=-2-30=-32
Como (-1)^5=-1, vem
det(B) = -1cdot2cdot(-32) = 64 ]

Resposta

det(A) = -46 det(B) = 64

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