Mostre que 1, i é uma base do espaço vetorial C sobre R e, portanto, C é um espaço vetorial de dimensão 2 sobre R.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que o conjunto 1,i é uma base de C visto como espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Que 1,i é linearmente independente sobre R.
  2. Que 1,i gera todo C (ou seja, todo número complexo pode ser escrito como combinação linear real de 1 e i).

Passo 2

Mostrando independência linear: suponha que existam escalares reais
onde é o elemento neutro de . Escrevendo em forma usual, isso significa
Igualando as partes real e imaginária, obtemos o sistema
Logo, a única solução é é linearmente independente sobre .

Passo 3

Mostrando que gera C: seja zinC. Podemos sempre escrever
z = x + yi
com x,yinR. Mas então
z = xcdot1 + ycdot i,
o que mostra que qualquer z é combinação linear real de 1 e i. Portanto 1,i gera todo C.

Passo 4

Concluímos que 1,i é um conjunto de dois vetores que é linearmente independente e gera C. Por definição, isso faz de 1,i uma base de C sobre R. O número de vetores na base é a dimensão do espaço, então
dimR(C) = 2

Resposta

1,i é base de C sobre R e, portanto, dimR(C)=2.

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