Mostre que
é uma base do espaço vetorial
sobre
e, portanto,
é um espaço vetorial de dimensão 2 sobre
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que o conjunto
é uma base de
visto como espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- Que
é linearmente independente sobre . - Que
gera todo (ou seja, todo número complexo pode ser escrito como combinação linear real de e ).
Passo 2
Mostrando independência linear: suponha que existam escalares reais
onde
é o elemento neutro de
. Escrevendo em forma usual, isso significa
Igualando as partes real e imaginária, obtemos o sistema
Logo, a única solução é é linearmente independente sobre
.
Passo 3
Mostrando que gera
: seja
. Podemos sempre escrever
com
. Mas então
o que mostra que qualquer
é combinação linear real de
e
. Portanto
gera todo
.
Passo 4
Concluímos que
é um conjunto de dois vetores que é linearmente independente e gera
. Por definição, isso faz de
uma base de
sobre
. O número de vetores na base é a dimensão do espaço, então